Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（-1，

3

），連接OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB．
（1）求點B的坐標；
（2）求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；
（3）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標及△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．
（4）若反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象有一動點Q，點Q與拋物線上的點A關(guān)于點M（1，t）成中心對稱，當以線段AB為一直角邊的△QAB為直角三角形時，請直接寫出相應(yīng)的反比例函數(shù)的解析式．

Answer 1

分析：（1）由點A的坐標可求得OA的長，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后，恰好落在x軸上，由此得出B點的坐標．
（2）利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式即可．
（3）過P作y軸的平行線交線段AB于D，首先求出直線AB的解析式，結(jié)合直線和拋物線的解析式先表達出P、D點的坐標，進而能得出線段PD的長，以PD為底，A、B橫坐標差的絕對值為高即可求出△ABP的面積函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行判斷即可．
（4）欲求反比例函數(shù)的解析式，必須先求出點Q的坐標；點Q、A關(guān)于M對稱，那么點Q的橫坐標必為3；已知線段AB為Rt△QAB的直角邊，那么需要分兩種情況討論：
①BQ為直角邊，即BQ⊥AB，那么這兩天直線的斜率乘積為-1，即：kAB×kBQ=-1，結(jié)合點B的坐標即可求出直線BQ的解析式，進而能求出點Q的坐標以及反比例函數(shù)的解析式；
②AQ為直角邊，解題方法和①完全相同．

解答：解：（1）∵A（-1，

3

），
∴OA=

(-1)2+( 3 )2

=2；
∵OA繞O順時針旋轉(zhuǎn)120°得OB，
∴OB=OA=2，且B在x軸正半軸上，
∴B（2，0）．

（2）由于拋物線過原點，可設(shè)其解析式為y=ax²+bx，代入A（-1，

3

）、B（2，0），得：

a-b= 3 4a+2b=0

，解得

a= 3 3 b=- 2 3 3

∴拋物線的解析式為y=

3

3

x²-

2 3

3

．

（3）設(shè)P（x，

3

3

x²-

2 3

3

）（0＜x＜2），過P作PD∥y軸交線段AB于D；
設(shè)直線AB：y=kx+b（k≠0），將A（-1，

3

）、B（2，0）代入，得：

-k+b= 3 2k+b=0

，解得

k=- 3 3 b= 2 3 3

∴直線AB：y=-

3

3

x+

2 3

3

，則點D的坐標（x，-

3

3

x+

2 3

3

）；
∴PD=（-

3

3

x+

2 3

3

）-（

3

3

x²-

2 3

3

）=-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

，
∴S_△APB=

1

2

×（-

3

3

x²+

3

3

x+

2 3

3

）×3=-

3

2

x²+

3

2

x+

3

；
S是關(guān)于x的二次函數(shù)，且開口向下，對稱軸x=

1

2

在0＜x＜2的范圍內(nèi)，因此當x=

1

2

時，△PAB的面積最大，且最大值為

9 3

8

；
此時P點的坐標（

1

2

，-

3

4

）．

（4）點Q與拋物線上的點A（-1，

3

）關(guān)于點M（1，t）成中心對稱，所以點Q的橫坐標必為3；
①BQ為Rt△QAB的直角邊時，BQ⊥AB，即：k_AB×k_BQ=-1，解得：k_BQ=

3

；
可設(shè)直線BQ：y=

3

x+b，代入B（2，0），得：b=-2

3

，
∴直線BQ：y=

3

x-2

3

，當x=3時，y=

3

，即 Q（3，

3

）；
將點Q的坐標代入反比例函數(shù)的解析式中，得：k₁=xy=3

3

；
②AQ為Rt△AOB的直角邊時，AQ⊥AB，同①可求得：k₂=15

3

；
綜上，符合條件的反比例函數(shù)解析式為：y=

3 3

x

或y=

15 3

x

．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、直角三角形的性質(zhì)以及圖形面積的求法等重要知識；最后一題中，互相垂直的兩條直線斜率的乘積為-1，這個結(jié)論需要記��；這個小題也可以分別過A、Q作坐標軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來求點Q的坐標，不過這樣的計算過程會稍微復雜一些．