Question

如圖，拋物線y=-x²+c與x軸分別交于點A、B，直線y=-x+過點B，與y軸交于點E，并與拋物線y=-x²+c相交于點C．
（1）求拋物線y=-x²+c的解析式；
（2）直接寫出點C的坐標；
（3）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度從點A向點B運動（不與點A、B重合），同時，點N在射線BC上以每秒2個單位長度的速度從點B向點C運動．設(shè)點M的運動時間為t秒，請寫出△MNB的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求出點M運動多少時間時，△MNB的面積最大，最大面積是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）求出點B的坐標，代入拋物線解析式可求出c的值，繼而得出拋物線的解析式；
（2）聯(lián)立拋物線與直線解析式可求出交點坐標；
（3）求出sin∠EBO，過點N作NF⊥x軸于點F，繼而可表示出NF，根據(jù)S_△MNB=BM×NF，可求出S與t的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法可求出最大值．
解答：解：（1）∵直線y=-x+過點B，
∴點B的坐標為（2，0），
將點B的坐標代入拋物線解析式可得：0=-×2²+c，
解得：c=3；
（2）聯(lián)立拋物線及直線解析式可得：，
解得：或，
故點C的坐標為（-1，）．
（3）由直線解析式可得點E坐標為（0，），
在Rt△BOE中，BE==，
則sin∠EBO==，
過點N作NF⊥x軸于點F，
設(shè)點M的運動時間為t秒，則AM=t，BN=2t，
則BM=4-t，NF=BN×sin∠EBO=t，
S_△MNB=BM×NF=（4-t）×t=-t²+t=-（t-2）²+（0＜t＜4），
故當t=2時，S取得最大，最大值為．
綜上可得：S=-t²+t，當點M運動2秒時，△MNB的面積最大，最大面積是．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及拋物線與一次函數(shù)的交點問題，本題的難點在第三問，需要同學們利用三角函數(shù)的知識表述出△MNB的高，這類題目一般以壓軸題出現(xiàn)，同學們應(yīng)注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力．