Question

如圖，在等腰△ABP中，PA=PB，點(diǎn)D、E分別為AP、AB邊上的點(diǎn)，點(diǎn)C、F都在BP邊長(zhǎng)，且DC∥AB，DA=DC，∠EDF=

1

2

∠ADC．
（1）若F在BC邊上時(shí)，求證：AE+CF=EF；
（2）若F在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出AE、CF、EF的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；
（3）若F在BC邊上時(shí)，且AD=DC=1，AB=2，則△BEF的最大面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）延長(zhǎng)EA至G，使AG=CF，連接GD，由條件可以證明△AGD≌△CFD，就有GD=FD，∠ADG=∠CDF，進(jìn)而證明就可以得出結(jié)論；
（2）在EA上取一點(diǎn)M使AM=CF，由條件可以得出△ADM≌△CDF，就可以得出DM=DF，再證明△EDF≌△MDE就可以得出EF=ME，進(jìn)而就可以得出結(jié)論；
（3）由條件AD=DC=1，AB=2及DC∥AB就可以得出△PAB為等邊三角形，就有∠B=60°，作FH⊥AB于H，當(dāng)設(shè)BF=x，AE=y，由三角形的面積公式就可以求出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖，

延長(zhǎng)EA至G，使AG=CF，連接GD，
∵PA=PB，DC∥AB，
∴∠PAB=∠PBA，∠PCD=∠PBA，
∴∠PAB=∠PCD，
∴∠DAG=∠DCF，
又∵DA=DC，
∴△AGD≌△CFD．
∴GD=FD，∠ADG=∠CDF，
∵∠EDF=

1

2

∠ADC，
∴∠GDE=∠ADG+∠ADE=∠CDF+∠ADE=

1

2

∠ADC，
∴∠EDF=∠GDE，DE=DE，
∴△GDE≌△FDE．
∴EF=GE=AG+AE=CF+AE．
（2）EF=AE-CF．
如圖

在AE上取一點(diǎn)M使AM=CF，
∵PA=PB，DC∥AB，
∴∠PAB=∠PBA，∠PCD=∠PBA，
∴∠PAB=∠PCD，
又∵DA=DC，
∴△ADM≌△CDF，
∴DM=DE，∠ADM=∠CDF，
∵∠EDF=

1

2

∠ADC，
∴∠MDE=∠MDF-∠EDF=∠MDC+∠CDF-∠EDF=∠MDC+∠ADM-∠EDF=∠ADC-

1

2

∠ADC=

1

2

∠ADC，
∴∠MDE=∠EDF，
又DE=DE，
∴△EDF≌△MDE
∴EF=ME=AE-AM=AE-CF．
（3）如圖，

∵AD=DC=1，AB=2，DC∥AB，
DC為△PAB的中位線，
∴△PAB為等邊三角形，
∴∠B=60°，
作FH⊥AB于H，設(shè)BF=x，AE=y，
S_△BEF=

1

2

（2-y）×

3

2

x，
當(dāng)x=1時(shí)，y=1，S_△BEF最大為

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．