Question

如圖，已知直線AB：與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，
（1）直線AB總經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)C，請直接寫出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）當(dāng)時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；
（3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB＝90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離.

Answer 1

（1）（-2，4）；（2）（-2，2）或（1， ）；（3）.

試題分析：（1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無關(guān)即可．
（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個(gè)定點(diǎn)C，容易得到DC長就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．
試題解析：（1）∵當(dāng)x=-2時(shí)，,
∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過定點(diǎn)（-2，4）．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，4）．
（2）∵，
∴直線AB的解析式為．
聯(lián)立 ，解得： 或．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．
如答圖1，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，過點(diǎn)A作AM⊥PQ，垂足為M，過點(diǎn)B作BN⊥PQ，垂足為N．
設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a．
∴．
∵點(diǎn)P在直線AB下方，∴.
∵，
∴，
整理得：，解得：．
當(dāng)時(shí)，．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）．
當(dāng)a=1時(shí)，．此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1， ）．
∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）或（1， ）．

（3）如答圖2，過點(diǎn)D作x軸的平行線EF，作AE⊥EF，垂足為E，作BF⊥EF，垂足為F．
∵AE⊥EF，BF⊥EF，∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，∴△AED∽△DFB．∴．
設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，
則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為，
∴．
∴，化簡得：．
∵點(diǎn)A、B是直線AB：與拋物線交點(diǎn)，
∴m、n是方程即兩根．∴．
∴，即，即.
∴（舍）．
∴定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
如答圖3，過點(diǎn)D作x軸的平行線DG，
過點(diǎn)C作CG⊥DG，垂足為G，
∵點(diǎn)C（-2，4），點(diǎn)D（2，2），∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，∴．
過點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，如答圖3所示，
∴DH≤DC．∴DH≤．
∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時(shí)，
點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大值為 ．
∴點(diǎn)D到直線AB的最大距離為．