Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為直線x=-3，該拋物線交x軸于A、B兩點，交y軸于點C（0，4），以AB為直徑的⊙M恰好經過點C．
（1）求這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）設⊙M與y軸的另一個交點為D，請在拋物線的對稱軸上求作一點E，使得△BDE的周長最小，并求出點E的坐標；
（3）過點C作⊙M的切線CF交x軸于點F，試判斷直線CF是否經過拋物線的頂點P？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接MC．在Rt△MCO中，由勾股定理得MC=5，故可求出A、B兩點的坐標，由A、B、C三點的坐標即可求出這條拋物線所對應的函數關系式；
（2）連接AD交拋物線的對稱軸于點E，則點E即為所求作的點，由A、D兩點的坐標可求出直線AD所對應的函數關系式，進而可求出E點坐標；
（3）由于直線CF為⊙O的切線，故∠MCF=90°，再根據∠OMC=∠CMF可知Rt△OMC∽Rt△CMF，由相似三角形的性質可求出MF的長，進而可得出CF所對應的函數關系，由（1）中所求拋物線的解析式求出其頂點坐標，把其頂點坐標代入直線CF的解析式看是否適合即可．
解答：解：（1）連接MC．在Rt△MCO中，由勾股定理得MC=5．（1分）
∴MA=MB=5，∴A（-8，0）、B（2，0），
由A（-8，0）、B（2，0）、C（0，4）可求得這條拋物線所對應的函數關系式為y=-x²-x+4；

（2）連接AD交拋物線的對稱軸于點E，則點E即為所求作的點，
由A（-8，0）、D（0，-4）可求得直線AD所對應的函數關系式為y=-x-4，
當x=-3時，y=-，
∴點E的坐標為（-3，-）；（6分）

（3）∵直線CF為⊙O的切線，
∴∠MCF=90°．
又∵∠OMC=∠CMF，
∴Rt△OMC∽Rt△CMF．
∴=，即=．
解得MF=．
∴OF=，
∴F（，0），
由C（0，4）、F（，0）可求得直線CF所對應的函數關系式為：y=-x+4，
又∵y=-x²-x+4=-1，4（x+3）²+，
∴拋物線的頂點P（-3，），
經檢驗，點P（-3，）在直線CF：y=-x+4上，即直線CF經過拋物線的頂點P．
點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到用待定系數法求一次函數及二次函數的解析式，相似三角形的判定與性質等相關知識，難度較大．