Question

【題目】如圖，折疊邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD，使點(diǎn)C落在邊AB上的點(diǎn)M處（不與點(diǎn)A，B重合），點(diǎn)D落在點(diǎn)N處，折痕EF分別與邊BC、AD交于點(diǎn)E、F，MN與邊AD交于點(diǎn)G．證明：

（1）△AGM∽△BME；
（2）若M為AB中點(diǎn)，則 ；
（3）△AGM的周長(zhǎng)為2a．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=∠C=90°，

∴∠AMG+∠AGM=90°，

∵EF為折痕，

∴∠GME=∠C=90°，

∴∠AMG+∠BME=90°，

∴∠AGM=∠BME，

在△AGM與△BME中，

∵∠A=∠B，∠AGM=∠BME，

∴△AGM∽△BME；

（2）解：∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，

∴BM=AM= ，

設(shè)BE=x，則ME=CE=a﹣x，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即（ ）2+x2=（a﹣x）2，

∴x= a，

∴BE= a，ME= a，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ = ，

∴AG= BM= a，GM= ME= a，

∴ ；

（3）解：設(shè)BM=x，則AM=a﹣x，ME=CE=a﹣BE，

在Rt△BME中，∠B=90°，

∴BM2+BE2=ME2，即x2+BE2=（a﹣BE）2，

解得：BE= ，

由（1）知，△AGM∽△BME，

∴ ，

∵C△BME=BM+BE+ME=BM+BE+CE=BM+BC=a+x，

∴C△AGM=C△BME =（a+x） =2a．

【解析】（1）根據(jù)正方形和折疊的性質(zhì)，得到兩角對(duì)應(yīng)相等，得到△AGM∽△BME；（2）由M為AB中點(diǎn)，再根據(jù)勾股定理和由（1）中的△AGM∽△BME，得到比例，證明出比例式；（3）根據(jù)勾股定理得到BE的代數(shù)式，再由（1）知，△AGM∽△BME，得到比例式，求出△AGM的周長(zhǎng)為2a．
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用翻折變換（折疊問(wèn)題）和相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方即可以解答此題．