Question

已知二次函數(shù).

（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，該拋物線(xiàn)與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），
∴代入得：，解得：m=±1。
∴二次函數(shù)的解析式為：或。
（2）∵m=2，∴二次函數(shù)為：。
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為：D（2，－1）。
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3）。
（3）存在，當(dāng)P、C、D共線(xiàn)時(shí)PC+PD最短。
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，

∵PO∥DE，∴△COP∽△CED。
∴，即，解得：
∴PC+PD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（，0）。

試題分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可。
（2）把m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)即可。
（3）根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短的性質(zhì)，當(dāng)P、C、D共線(xiàn)時(shí)PC+PD最短，利用相似三角形的判定和性質(zhì)得出PO的長(zhǎng)即可得出答案。