Question

22、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC和CD上，AE=AF．
（1）求證：BE=DF；
（2）連接AC交EF于點(diǎn)O，延長OC至點(diǎn)G，使OG=OA，連接EG、FG．判斷四邊形AEGF是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠D=∠B=90°，AB=AD，根據(jù)HL證出Rt△ABE≌Rt△ADF即可；
（2）連接BD交AC于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AC⊥BD，證EF⊥AC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)推出OE=OF即可．

解答：證明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠D=∠B=90°，AB=AD=BC=CD，
∵AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF．

（2）四邊形AEGF是菱形．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°（正方形的對角線平分一組對角），
BC=DC（正方形鄰邊相等），
∵BE=DF（已證），
∴BC-BE=DC-DF（等式的性質(zhì)），
即CE=CF，
易得△COE≌△COF，
∴OE=OF，
∵OG=OA，
∴四邊形AEGF是平行四邊形，（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∵AE=AF，
∴平行四邊形AEGF是菱形．

點(diǎn)評：本題主要考查對正方形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線分線段成比例定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點(diǎn)的理解和掌握，能綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．