Question

如圖，直線y=2x-4分別交x軸、y軸于B、A兩點，交雙曲線y=

k

x

（x＞0）于點C，且S_△AOC=8．M是射線BA上一點，將線段BM繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)135°，M落在雙曲線上的點N處，求線段BM的長度．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：作BD⊥OC于D，NE⊥x軸于E，如圖，先利用坐標軸上點的坐標特征確定A（0，-4），B（2，0），設C點坐標為（m，2m-4），利用三角形面積公式得

1

2

×4×m=8，解得m=4，則C點坐標為（4，4），根據(jù)C點坐標可確定反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

，且∠BOC=45°，OC=4

2

；設BE=t，則OE=t+2，利用反比例函數(shù)圖形上點的坐標特征得N點坐標表示為（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，然后在Rt△OBD中根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算出OD=BD=

2

2

OB=

2

，則CD=3

2

；接著根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠MBN=135°，BN=BM，則∠CBN=45°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)易得∠1=∠2，于是可證明Rt△BEN∽Rt△CDB，利用相似比計算出t=6，則BE=6，NE=2，最后在Rt△BEN中，根據(jù)勾股定理可計算出BN=2

10

，即有BM=2

10

．

解答：解：作BD⊥OC于D，NE⊥x軸于E，如圖，
把x=0代入y=2x-4得y=4，
則A點坐標為（0，-4）；
把y=0代入y=2x-4得2x-4=0，解得x=2，
則B點坐標為（2，0），
設C點坐標為（m，2m-4），
∵S_△AOC=8，
∴

1

2

×4×m=8，解得m=4，
∴C點坐標為（4，4），
∴k=4×4=16，即反比例函數(shù)解析式為y=

16

x

，∠BOC=45°，OC=4

2

，
設BE=t，則OE=t+2，則N點坐標表示為（t+2，

16

t+2

），即NE=

16

t+2

，
在Rt△OBD中，∵OB=2，∠BOD=45°，
∴OD=BD=

2

2

OB=

2

，
∴CD=OC-OD=3

2

，
∵線段BM繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)135°，M落在雙曲線上的點N處，
∴∠MBN=135°，BN=BM，
∴∠CBN=45°，
∵∠CBN+∠1=∠BOC+∠2，
∴∠1=∠2，
∴Rt△BEN∽Rt△CDB，
∴

NE

BD

=

BE

CD

，即

16 t+2

2

=

t

3 2

，
整理得t²+2t-48=0，
解得t₁=-8（舍去），t₂=6，
∴BE=6，NE=

16

2+6

=2，
在Rt△BEN中，BN=

BE2+NE2

=2

10

，
∴BM=2

10

．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)．