Question

如圖，在半徑為3厘米的⊙O中，A，B，C三點在圓上，∠BAC=75°，點P從點B開始以厘米/秒的速度在劣弧BC上運動，且運動時間為t（秒），∠AOB=90°、∠BOP=n°．
（1）∠BOC=______ 度，求n與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求t的取值范圍；
（2）試探究當(dāng)點P運動多少秒時：
①四邊形PBAC為等腰梯形，并說明其理由；
②以P，B，A，C四點中的三點為頂點的三角形是等腰三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)求出∠BOP即可，再利用弧長公式求出n與t的關(guān)系即可；
（2）①當(dāng)BP∥AC時，以及當(dāng)PC∥AB時，分別利用等腰梯形的性質(zhì)求出即可；
②以AB為腰時，以AB為底邊時，再利用在△APC中，∠APC=60°，△APC是等邊三角形和在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC這種情況，分別求出即可．
解答：解：（1）∵∠AOB=90°，∴∠BAO=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠CAO=30°，
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠OCA=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BOP=360°-90°-120°=150°，
∵∠BOP=n°，則t=，整理得出：n=12t，
當(dāng)n=150°時，150°=12t，t=12.5，故0≤t≤12.5．

（2）①∠BOP=n°，n=12t．
如圖1，當(dāng)BP∥AC時，t=5秒，四邊形PBAC為等腰梯形．
理由：∵∠PBA=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°∴∠OBP=60°，OB=OP，
∴∠BOP=60°，則60=12t，
解得：t=5（秒），
又∵∠AOP=150°，∠ACP=75°，∴AB 與PC不平行．
又∵∠POC=150°-60°=90°=∠AOB，
∴AB=PC，∴四邊形PBAC為等腰梯形．
如圖2，當(dāng)PC∥AB時，n=120=12t，解得：t=10（秒）
理由：∵∠CPB=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°，∴∠OBP=30°，OB=OP，
∴∠BOP=120°，則120=12t，
解得：t=10（秒），
又∵∠ACP=180°-75°=105°，∠BPC=105°，∴PB與AC不平行．
又∵∠POB=120°=∠AOC，
∴PB=AC，∴四邊形PBAC為等腰梯形．
②在△ABP中，以AB為腰時（如圖3），
∵∠BPA=∠BAP=45°，
∴∠BOP=45°+45°=90°，
故n=90=12t，解得：t=7.5（秒），
以AB為底邊時（如圖4），
∵∠BPA=∠BOA=45°，∴∠BAP=67.5°，∴∠BOP=2×67.5°，
故135=12t，
解得：t=11.25（秒）．
如圖5．在△APC中，∠APC=60°，△APC是等邊三角形，
∴∠BAP=15°，∠BOP=30°，
故30=12t，解得：t=2.5（秒）．
如圖6，在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC這種情況，
此時P是弧BC的中點，或說AP是∠BAC的平分線，
∠BOP=75°，
故n=75=12t，
解得：t=6.25（秒）．
綜合上述：當(dāng)點P運動時間為5，10秒，四邊形ABPC為等腰梯形；
當(dāng)點P運動時間為7.5，11.25秒，三角形ABP為等腰三角形；
當(dāng)點P運動時間為2.5秒，三角形APC為正三角形；
當(dāng)點P運動時間為6.25秒，三角形BPC為等腰三角形．
點評：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及等腰梯形的判定和等腰三角形的性質(zhì)以及弧長公式的應(yīng)用等知識，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解題關(guān)鍵．