Question

半徑為2.5的⊙O中，直徑AB的不同側(cè)有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P．已知BC：CA=4：3，點(diǎn)P在

AB

上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線，與PB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q．
（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到

AB

的中點(diǎn)時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CQ取到最大值？求此時(shí)CQ的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）如果點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱，根據(jù)垂徑定理可得出CP⊥AB，在直角三角形ABC中，根據(jù)△ABC面積的不同表示方法可求出CD的長(zhǎng)，即可得出PC的值，進(jìn)而可通過(guò)相似三角形△PQC和△ABC（∠A=∠P，一組直角）求出CQ的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）；由于P是弧AB的中點(diǎn)，由圓周角定理得∠ACP=∠PCB=45°，由△CEB是等腰直角三角形，可得CE=BE=

2

2

BC=2

2

；又由圓周角定理得∠CPB=∠CAB，由正切的概念知tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

=BE：PE，得到PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

進(jìn)而求得PC，而從（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．
（3）如果CQ去最大值，那么PC也應(yīng)該取最大值，因此當(dāng)PC是圓O的直徑時(shí)，CQ才取最大值．此時(shí)PC為5，可根據(jù)上面得出的PC、CQ的比例關(guān)系求出CQ的長(zhǎng)．

解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AB對(duì)稱時(shí)，CP⊥AB，設(shè)垂足為D．
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°．
∴AB=5，又∵BC：CA=4：3，
∴BC=4，AC=3．
又∵

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD
∴CD=

12

5

，PC=

24

5

在Rt△ACB和Rt△PCQ中，
∠ACB=∠PCQ=90°，∠CAB=∠CPQ，
Rt△ACB∽R(shí)t△PCQ
∴

AC

BC

=

PC

CQ

，
∴CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC=

32

5

．

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到弧AB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PC于點(diǎn)E（如圖）．
∵P是弧AB的中點(diǎn)，
∴∠PCB=45°，CE=BE=

2

2

BC=2

2

又∠CPB=∠CAB
∴tan∠CPB=tan∠CAB=

4

3

∴PE=

BE

tan∠CPB

=

3

4

BE=

3 2

2

，PC=

7 2

2

而從（1）中得，CQ=

4

3

PC=

14 2

3

．

（3）點(diǎn)P在弧AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，恒有CQ=

BC•PC

AC

=

4

3

PC；
故PC最大時(shí)，CQ取到最大值．
當(dāng)PC過(guò)圓心O，即PC取最大值5時(shí)，CQ最大值為

20

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于常規(guī)的幾何綜合題，利用了直角三角形的面積公式，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正切的概念求解．解第3小問(wèn)時(shí)要有動(dòng)態(tài)的思想（在草稿上畫(huà)畫(huà)圖）不難猜想出結(jié)論．