Question

已知拋物線a、b的解析式分別是關(guān)于y與x的關(guān)系式：y=x2-2mx-

m2

2

與y=-x2-2mx+

m2+2

2

．
（1）請用2種不同的方法，判斷拋物線a、b中哪條經(jīng)過點E，哪條經(jīng)過點F？
（2）當(dāng)m等于某數(shù)時，這兩條拋物線中，只有一條與x軸交于A、B（A點在左）兩個不同的點，問是哪條拋物線經(jīng)過A、B兩點？為什么？并求出A、B兩點的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)m=1時，直線x=n在兩拋物線的對稱軸之間平行移動，并且分別與兩拋物線交于C、D兩點，設(shè)線段CD的長為w，那么請寫出w與n之間的函數(shù)關(guān)系，并問當(dāng)n為什么值時w最大，最大值是多少？

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）方法一：根據(jù)二次項系數(shù)的正負情況確定出拋物線的開口方向，從而作出判斷；
方法二：根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)確定出常數(shù)項的正負情況，確定出拋物線與y軸的交點，從而作出判斷；
（2）根據(jù)常數(shù)項可知拋物線b，不論m取何值，都與y軸正半軸相交，從而確定出與x軸始終有兩個不同的交點，而拋物線a當(dāng)m=0時與x軸只有一個交點，然后令m=0求解即可得到點A、B的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)兩個函數(shù)的解析式表示出CD，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答．

解答：解：（1）方法一：∵拋物線a二次項系數(shù)1＞0，
∴拋物線開口向上，
∵拋物線b二次項系數(shù)-1＜0，
∴拋物線開口向下，
∴拋物線b經(jīng)過點E，拋物線a經(jīng)過點F；
方法二：m≠0時，
∵拋物線a的常數(shù)項-

m2

2

＜0，
∴拋物線a與y軸的負半軸相交，
∵拋物線b的常數(shù)項

m2+2

2

＞0，
∴拋物線b與y軸的正半軸相交，
∴∴拋物線b經(jīng)過點E，拋物線a經(jīng)過點F；

（2）∵

m2+2

2

=

m2

2

+1≥1，
∴拋物線b與y軸正半軸相交，
又∵-1＜0，
∴拋物線b不論m取何值，與x軸始終有兩個交點，
當(dāng)m=0時，拋物線a為y=x²，與x軸只有一個交點為坐標(biāo)原點O，
∴拋物線b經(jīng)過A、B兩點，
m=0時，拋物線b為y=-x²+1，
令y=0，則-x²+1=0，
解得x₁=-1，x₂=1，
∵A點在左，
∴A（-1，0），B（1，0）；

（3）當(dāng)m=1時，拋物線a、b分別為y=x²-2x-

1

2

，y=-x²-2x+

3

2

，
∴兩拋物線的對稱軸分別為直線x=-

-2

2×1

=1，
直線x=-

-2

2×(-1)

=-1，
∵直線x=n在兩拋物線的對稱軸之間平行移動，
∴w=CD=（-n²-2n+

3

2

）-（n²-2n-

1

2

）=-n²-2n+

3

2

-n²+2n+

1

2

=-2n²+2，
即w=-2n²+2，
∴當(dāng)n=0時，w最大，最大值是2．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了二次函數(shù)的開口方向，二次函數(shù)與y軸的交點坐標(biāo)，拋物線與x軸的交點坐標(biāo)的求解，以及二次函數(shù)的最值問題，綜合題，但難度不大，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)以及最值問題是解題的關(guān)鍵．