Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（0，3），B（1，0）兩點，頂點為M．
（1）求b、c的值；
（2）將△OAB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A落到點C的位置，該拋物線沿y軸上下平移后經(jīng)過點C，求平移后所得拋物線的表達式；
（3）設(shè)（2）中平移后所得的拋物線與y軸的交點為A₁，頂點為M₁，若點P在平移后的拋物線上，且滿足△PMM₁的面積是△PAA₁面積的3倍，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將已知點的坐標代入到二次函數(shù)的解析式中求得未知系數(shù)的值即可；
（2）根據(jù)A、B兩點的坐標可以求得OA和OB的長，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求得點C的坐標，然后向下平移2個單位即可得到平移后的拋物線的解析式；
（3）設(shè)P點的坐標為（x，x²-4x+1），然后分0＜x＜2時和x＜0時兩種情況利用S_△PMM1=3S_△PAA1得到有關(guān)x的方程求得x即可確定點P的坐標即可．
解答：解：（1）已知拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過A（0，3），B（1，0）兩點，
∴
解得：
∴b、c的值分別為-4，3；
（2）∵A（0，3），B（1，0），
∴OA=3，OB=1，
可得旋轉(zhuǎn)后C點的坐標為（4，1），
當x=4時，由y=x²-4x+3得y=3，
可知拋物線經(jīng)過y=x²-4x+3經(jīng)過點（4，3）
∴將原拋物線沿y軸向下平移2個單位后過點C，
∴平移后的拋物線的解析式為y=x²-4x+1．
（3）∵點P在y=x²-4x+1上，可設(shè)P點的坐標為（x，x²-4x+1），
將y=x²-4x+1配方得y=（x-2）²-3
∴對稱軸為直線x=2，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1 MM₁=AA₁=2
∴x＜2，
①當0＜x＜2時，
∵S_△PMM1=3S_△PAA1，
×2×（2-x）=3××2×x，
解得：x=，
∴x=，此時x²-4x+1=-
∴點P的坐標為（，-），
②當x＜0時，
同理可得×2×（2-x）=3××2×（-x）
解得：x=-1，
∴x=-1，此時x²-4x+1=6，
∴點P的坐標為（-1，6），
綜上所述，可知：點P的坐標為（，-）或（-1，6）．
點評：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識，特別是本題中涉及到的求二次函數(shù)的解析式更是高頻考點，在第（3）題中分兩種情況討論是解決本題的關(guān)鍵．