Question

（本題滿分12分）如圖，二次函數(shù)的圖像與x軸交于點A，B．點M、N在x軸上，點N在點M右側(cè)，MN＝2．以MN為直角邊向上作等腰直角三角形CMN，∠CMN＝90°．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為m．

（1）當(dāng)點C在這條拋物線上時，求m的值．

（2）將線段CN繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對應(yīng)線段DN．

①當(dāng)點D在這條拋物線的對稱軸上時，求點D的坐標(biāo)．

②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，當(dāng)點E在這條拋物線的對稱軸上時，求m的值．

Answer 1

（1）；（2）①（ ，－2）；② 或 或 或．

【解析】

試題分析：（1）先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點C的坐標(biāo)為（m，2），再將C的坐標(biāo)代入，即可求出m的值；

（2）①先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出拋物線的對稱軸為直線，然后根據(jù)點D在直線上，即可求出點D的坐標(biāo)；

②以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE時，分別以D、N為直角頂點，在DN的兩側(cè)分別作出等腰直角三角形DNE，E點的位置分四種情況討論．針對每一種情況，都可以先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點E的坐標(biāo)，然后根據(jù)點E在直線上，列出關(guān)于m的方程，解方程即可求出m的值．

試題解析：（1）∵△CMN是等腰直角三角形CMN，∠CMN=90°，∴CM=MN=2，∴點C的坐標(biāo)為（m，2），∵點C（m，2）在拋物線上，∴，解得，．∴點C在這條拋物線上時，m的值為或；

（2）①∵將線段CN繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到對應(yīng)線段DN，∴∠CND=90°，DN=CN=CM=MN，∴CD=CN=2CM=2MN，∴DM=CM=MN，∠DMN=90°，∴點D的坐標(biāo)為（m，﹣2）．又∵拋物線的對稱軸為直線，點D在這條拋物線的對稱軸上，∴點D的坐標(biāo)為（，﹣2）；

②如圖，以DN為直角邊作等腰直角三角形DNE，E點的位置有四種情況：如果E點在E1的位置時，∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），MN=ME1=2，點N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點E1的（m﹣2，0），∵點E1在拋物線的對稱軸直線上，∴，解得；

如果E點在E2的位置時，∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點E2的（m+2，﹣4），∵點E2在拋物線的對稱軸直線上，∴，解得；

如果E點在E3的位置時，∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），∴點E3的（m，2），∵點E3在拋物線的對稱軸直線上，∴；

如果E點在E4的位置時，∵點D的坐標(biāo)為（m，﹣2），點N的坐標(biāo)為（m+2，0），∴點E4的（m+4，﹣2），∵點E4在拋物線的對稱軸直線上，∴，解得；

綜上可知，當(dāng)點E在這條拋物線的對稱軸上時，所有符合條件的m的值為 或 或 或．

考點：二次函數(shù)綜合題．