Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b2-4b+4=0．

(1)求證：∠ABC=90°；

(2)∠ABO的平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

(3)如圖，在線(xiàn)段AB上有兩動(dòng)點(diǎn)M、N滿(mǎn)足∠MON=45°，求證：BM2+AN2=MN2．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，根據(jù)直角三角形的判定定理證明；
（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分線(xiàn)，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)知DO=DE，即可證得OD=DE，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）把△OBM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)E，連結(jié)NE，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可證得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通過(guò)證△MON≌△EON，來(lái)得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根據(jù)勾股定理即可證明．

（1）證明：由得

，

∴

∴

∴A、B、C的坐標(biāo)是A（2，0），B（0，2），C（－2，0）

∴AB=，BC=，AC=4

∴AC2=AB2+BC2

∴∠ABC=90°

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABO，

∴OD=DE，

設(shè)OD=x，

∵ 解得,，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)是

（3）證明：把△OBM繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后B點(diǎn)與A點(diǎn)重合，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)點(diǎn)E（如圖），連結(jié)NE

∴∠NAE=90°

又∠MON=45°，

∴∠NOE=45°

在△MON和△EON中，

∴△OMN≌△OEN（SAS）

∴MN=NE

在△MOB和△EOA中，

∴△MOB≌△EOA，

BM=AE

∴在Rt△NAE中

NE2=AN2+AE2

∴MN2=AN2+BM2