Question

為了落實國家的惠農政策，某地政府制定了農戶投資購買收割機的補貼辦法，其中購買Ⅰ、Ⅱ型收割機所投資的金額與政府補貼的額度存在下表所示的函數對應關系：

	Ⅰ型收割機		Ⅱ型收割機
投資金額x（萬元）	x	5	x	2	4
補貼金額x（萬元）	y1=kx	2	y2=ax2+bx	2.4	3.2

（1）分別求出y₁和y₂的函數解析式；
（2）旺叔準備投資10萬元購買Ⅰ、Ⅱ兩型收割機．請你設計一個能獲得最大補貼金額的方案，并求出按此方案能獲得的補貼金額．

Answer 1

解：（1）設購買Ⅰ型收割機補貼的金額的解析式為：y1=kx，購買Ⅱ型收割機補貼的金額的解析式為y₂=ax²+bx，由題意，得
2=5k，或，解得
k=，
，
∴y₁的解析式為：y₁=x，y₂的函數解析式為：y₂=-x²+1.6x．

（2）設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，則購買Ⅱ型收割機（10-a）萬元，由題意，得
W=a+[-（10-a）²+1.6（10-a）]，
=-（a-7）²+．
∴當a=7時，W有最大值萬元，
∴買Ⅰ型收割機7萬元、Ⅱ兩型收割機3萬元可以獲得最大補貼萬元．
分析：（1）利用待定系數法直接就可以求出y₁與y₂的解析式．
（2）設總補貼金額為W萬元，購買Ⅰ型收割機a萬元，購買Ⅱ型收割機（10-a）萬元，建立等式就可以求出其值．
點評：本題考查了待定系數法求函數的解析式的運用，拋物線的頂點式的運用．在求解析式中，待定系數法時常用的方法．二次函數的一般式化頂點式是求最值的常用方法．