Question

如圖（1），拋物線C：y=x²+bx+c與x軸正半軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，2），已知x₁-2x₂=-3．
（1）求拋物線C的解析式；
（2）連接AC．若點(diǎn)P在拋物線C的對稱軸上，求使△APC為等腰三角形的點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）將圖（1）中的拋物線C向下平移6個(gè)單位得到圖（2）所示的拋物線F．若點(diǎn)M是拋物線F上B₁、C₁間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B₁、C₁重合），試問是否存在點(diǎn)M使得四邊形A₁B₁MC₁的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線C：y=x²+bx+c與y軸交于C（0，2），∴c=2；
依題意，拋物線C：y=x²+bx+2與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點(diǎn)，則：
x₁、x₂是方程x²+bx+2=0的兩個(gè)根，可得：x₁•x₂=2…①；
而x₁-2x₂=-3，即x₁=2x₂-3，代入①，得：（2x₂-3）x₂=2，解得 x₂=2（負(fù)值舍去）
則 x₁=1，∴A（1，0）、B（2，0）；
可求得拋物線的解析式：y=x²-3x+2．

（2）依題意，設(shè)P（，y），已知：A（1，0）、C（0，2），有：
AP²=y²+、AC²=5、PC²=y²-4y+；
若△APC是等腰三角形，有三種情況：
①AP=AC，得：
y²+=5，解得 y=±；
②AP=PC，得：
y²+=y²-4y+，解得 y=；
③AC=PC，得：
y²-4y+=5，解得 y=；
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）、（，-）、（，）、（，）、（，）．

（3）由（1）知：拋物線C：y=x²-3x+2=（x-）²-，向下平移6個(gè)單位后，得：
拋物線F：y=（x-）²-=（x-）²--6=x²-3x-4=（x+1）（x-4）；
∴A₁（-1，0）、B₁（4，0）、C₁（0，-4）．
易知，直線B₁C₁：y=x-4，過點(diǎn)M作MN⊥x軸，交直線B₁C₁于N，如右圖；
設(shè)點(diǎn)M（m，m²-3m+2），則 N（m，m-4），MN=m-4-（m²-3m+2）=-m²+4m，
四邊形A₁C₁MB₁的面積：S=+=×5×4+×4×（-m²+4m）=-2（m-2）²+18；
∴存在使四邊形A₁C₁MB₁面積最大的點(diǎn)M，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，2），四邊形的最大面積為18．
分析：（1）由點(diǎn)C的坐標(biāo)不難得到c的值，而拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，那么x₁、x₂必為方程x²+bx+c=0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x₁x₂=c，聯(lián)立題干中的x₁、x₂關(guān)系式，解方程組即可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．
（2）拋物線的對稱軸易知，首先設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，從而能得到AP、CP、AC三邊長，然后分：①AP=CP、②AP=AC、③CP=AC三種情況，列等式求解．
（3）先求出平移后的拋物線解析式，進(jìn)一步能求出點(diǎn)A₁、B₁、C₁三點(diǎn)坐標(biāo)；通過圖示不難看出，四邊形A₁B₁MC可分作△A₁C₁B₁、△C₁MB₁兩部分，△A₁C₁B₁的面積是定值，關(guān)鍵是求出△C₁MB₁的面積表達(dá)式，首先過點(diǎn)M作x軸的垂線，交直線B₁C₁于點(diǎn)N，那么△B₁MC₁的面積可由（×OB₁×MN）求得，由此求得關(guān)于四邊形A₁C₁MB₁的面積與點(diǎn)M橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
點(diǎn)評：題目主要考查了函數(shù)解析式的確定、二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及圖形面積的解法等知識；（3）題在不確定等腰三角形的腰和底的情況下要進(jìn)行分類討論；（4）題的解法較多，除解答部分的方法外，還可以過點(diǎn)M作x軸的垂線，將四邊形A₁C₁MB₁分成兩個(gè)三角形以及一個(gè)梯形來解等方法．