Question

已知拋物線y=ax²+bx+c，當(dāng)x=0時，有最小值為1；且在直線y=2上截得的線段長為4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若點P是拋物線的任意一點，記點P到x軸的距離為d₁，點P與點F（0，2）的距離為d₂，猜想d₁、d₂的大小關(guān)系，并證明；
（3）若直線PF交此拋物線于另一點Q（異于P點）．
①試判斷以PQ為直徑的圓與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；
②以PQ為直徑的圓與y軸的交點為A、B，若OA•OB=1，求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點坐標(biāo)列式求出b=0，c=1，再根據(jù)在直線y=2上截得的線段長為4，利用拋物線的對稱性可得點（2，2）在拋物線上，然后把點的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a的值，從而得解；
（2）設(shè)P點坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)兩點間距離公式求出PF的長，即d₂，d₁等于P點的縱坐標(biāo)的值；比較兩距離即可；
（3）①過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，根據(jù)（2）的結(jié)論可得PF=PM，QF=QN，然后利用梯形的中位線定理可得圓心到x軸的距離等于PQ的一半，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷圓與x軸相切；
②設(shè)圓與x軸的切點為E，根據(jù)切割線定理可得OE=1，再設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+2，與拋物線解析式聯(lián)立，根據(jù)點PQ的中點的橫坐標(biāo)的長度等于OE列式求出k值，即可得解．
解答：解：（1）∵當(dāng)x=0時，有最小值為1，
∴-=0，=1，
解得b=0，c=1，
∴拋物線關(guān)于y軸對稱，
∵在直線y=2上截得的線段長為4，
∴拋物線經(jīng)過點（-2，2）與（2，2），
∴4a+1=2，
解得a=，
所以，此拋物線的解析式：y=x²+1；

（2）猜想：d₁=d₂．
設(shè)拋物線上的點P的坐標(biāo)為（x，x²+1），
則d₁=x²+1，
d₂=PF===x²+1，
所以，d₁=d₂；

（3）①以PQ為直徑的圓與x軸相切．
理由如下：過點P作PM⊥x軸于點M，過點Q作QN⊥x軸于點N，
由（2）可知，PF=PM，QF=QN，
∴PF+QF=PM+QN，
即PQ=PM+QN，
∵圓心D是直徑PQ的中點，過D作DE⊥x軸于點E，
∴DE=（PM+QN）=PQ，
即圓心到x軸的距離等于圓的半徑，
所以，以PQ為直徑的圓與x軸相切；
②由切割線定理可得OE²=OA•OB，
∵OA•OB=1，
∴OE²=1，
解得OE=1，
設(shè)直線PQ的解析式為y=kx+2，
聯(lián)立得，x²+1=kx+2，
整理得，x²-4kx-4=0，
所以，線段PQ的中點橫坐標(biāo)為-=2k，
即點E的坐標(biāo)為（2k，0），
當(dāng)點E在y軸右側(cè)時，2k=1，
解得k=，
此時，所求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=x+2，
當(dāng)點E在y軸左側(cè)時，2k=-1，
解得k=-，
此時所求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-x+2，
綜上，所求直線PQ對應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=x+2或y=-x+2．
點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式，拋物線的對稱性，兩點間的距離公式，梯形的中位線定理，直線與圓的位置關(guān)系的判定，圓的切割線定理，綜合性較強(qiáng)，（3）要注意分情況討論．