Question

當(dāng)0°＜α＜60°時，下列關(guān)系式中有且僅有一個正確．
A.2sin(α+30°)=sinα+

3

B.2sin(α+30°)=2sinα+

3

C.2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα
（1）正確的選項(xiàng)是

 

；
（2）如圖1，△ABC中，AC=1，∠B=30°，∠A=α，請利用此圖證明（1）中的結(jié)論；
（3）兩塊分別含45°和30°的直角三角板如圖2方式放置在同一平面內(nèi)，BD=8

2

，求S_△ADC．

Answer 1

分析：（1）利用關(guān)系式sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ即可解答．
（2）構(gòu)造直角三角形，過A、C點(diǎn)作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，CE⊥AB于E，根據(jù)三角函數(shù)知識，可用α表示出AB的長度，再表示出AE和BE的長度，AB=AE+BE，分別讓帶有α兩式相等即可．
（3）要求三角形的面積，必須找到三角形的一邊和這條邊上的高；過點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長線于G點(diǎn)．根據(jù)題意可知CD和AD的長度，和∠ADG的度數(shù)，根據(jù)上述得出的結(jié)論，可以求出∠的正弦值，在直角三角形ADG中，AD已知，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系式即可得出AG的長度，代入S_△ADC的面積公式即可．

解答：解：（1）C．
2sin（α+30°）=2（sinα•cos30°+cosα•sin30°）=

3

sinα+cosα．
故答案選C．

（2）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D．
∵∠B=30°，∠BAC=α，AC=1，
∴∠ACD=α+30°．
∴在△ADC中，∠ADC=90°，AD=AC•sin∠ACD=sin（α+30°）．
∵在△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AD=2sin（α+30°）
過點(diǎn)C作CE⊥AB于E．
∴在△CEA中，∠AEC=90°，CE=sinα，AE=cosα．
在△BEC中，∠BEC=90°，EB=

3

CE=

3

sinα．
∴AB=AE+BE=cosα+

3

sinα．
∴AB=2sin(α+30°)=

3

sinα+cosα．

（3）由上面證明的等式易得sin(α+30°)=

3 sinα+cosα

2

．
如圖，過點(diǎn)A作AG⊥CD交CD的延長線于點(diǎn)G．
∵△ABD和△BCD是兩個含45°和30°的直角三角形，BD=8

2

，
∴∠ADG=75°，AD=8，CD=4

2

．
∵sin75°=sin（45°+30°）=

3 sin45°+cos45°

2

=

6 + 2

4

．
∴在△ADG中，∠AGD=90°，AG=AD•sin∠ADG=8×sin75°=2

6

+2

2

．
∴S_△ADC=

1

2

CD•AG=

1

2

×4

2

×(2

6

+2

2

)=8

3

+8．

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)和化積差的函數(shù)式，要求學(xué)生掌握正余弦、正余切的和化積差和積差化和，熟練應(yīng)用．