精英家教網(wǎng)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)和A(1,-3)、B(-1,5)三點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C.以O(shè)C為直徑作⊙M,如果過(guò)拋物線上一點(diǎn)P作⊙M的切線PD,切點(diǎn)為D,且y軸的正半軸交于點(diǎn)為E,連接MD.已知點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,m),求四邊形EOMD的面積.(用含m的代數(shù)式表示)
(3)延長(zhǎng)DM交⊙M于點(diǎn)N,連接ON、OD,當(dāng)點(diǎn)P在(2)的條件下運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),能使得S四邊形EOMD=S△DON?請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
分析:(1)將O、A、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,即可求出待定系數(shù)的值,從而確定拋物線的解析式;
(2)連接EM;由于ED、EO都是⊙M的切線,根據(jù)切線長(zhǎng)定理可得到ED=EO,根據(jù)SSS可證得△EDM≌△EOM,則它們的面積相等,因此四邊形EOMD的面積其實(shí)是△EOM的面積的2倍,以O(shè)M為底,OE為長(zhǎng)可求出△EOM的面積,即可得到四邊形EOMD的面積表達(dá)式;
(3)△DON中,MN=DM,所以△DMO和△OMN等底同高,它們的面積相等;由此可證得△EOM與△OMD的面積相等,由于這兩個(gè)三角形共用底邊OM,則ED∥x軸,根據(jù)⊙M的半徑即得到直線PD的解析式,聯(lián)立拋物線的解析式即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).
解答:解:(1)∵拋物線y=ax2+bx+c過(guò)O(0,0)、A(1,-3)、B(-1,5)三點(diǎn),
c=0
a+b+c=-3
a-b+c=5
,
解得
a=1
b=-4
c=0

∴拋物線的解析式為y=x2-4x;

(2)拋物線y=x2-4x與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為C(4,0),
連接EM.
∴⊙M的半徑是2,即OM=DM=2.
∵ED、EO都是⊙M的切線,
∴EO=ED.
∴△EOM≌△EDM.
∴S四邊形EOMD=2S△OME=2×
1
2
OM•OE=2m;

(3)設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,y0),
∵S△DON=2S△DOM=2×
1
2
OM×y0=2y0,
當(dāng)S四邊形EOMD=S△DON時(shí),即2m=2y0,m=y0
∵m=y0,ED∥x軸,
又∵ED為切線,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,2);
∵P在直線ED上,故設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,2),
∵P在拋物線上,
∴2=x2-4x,
解得x=2±
6

∴P(2+
6
,2)或P(2-
6
,2)為所求.
點(diǎn)評(píng):此題是二次函數(shù)與圓的綜合題,考查了二次函數(shù)解析式的確定、全等三角形的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等重要知識(shí).此題難度較大,注意能夠發(fā)現(xiàn)△EOM、△OMD的面積關(guān)系,從而得到直線PD與x軸的位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3,精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3,△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M.
(1)求這條拋物線的解析式;
(2)求圖象經(jīng)過(guò)M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使過(guò)P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知:如圖,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D,與y軸相交于點(diǎn)A,直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A,矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上,矩形面積為12,
(1)求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸;
(2)⊙P是經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓,當(dāng)⊙P與y軸相交,且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí),求圓心P的坐標(biāo);
(3)若線段DO與AB交于點(diǎn)E,以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似,如果有可能,請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式;如果不可能,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•寧化縣質(zhì)檢)已知:如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(1-
3
,0)和點(diǎn)B,將拋物線沿x軸向上翻折,頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′(1,3)處.
(1)求原拋物線的解析式;
(2)在原拋物線上,是否存在一點(diǎn),與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)也在該拋物線上?若存在,求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
(3)學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽,九年級(jí)(5)班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感:過(guò)點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn),將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉,設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽,“5”的拼音開(kāi)頭字母為W,“W”圖案似大鵬展翅,寓意深遠(yuǎn);而且小明通過(guò)計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬(CD)的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
(約等于0.618).請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少?(參考數(shù)據(jù):
5
≈2.236
,
6
≈2.449
,結(jié)果精確到0.001)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知,如圖,拋物線y=ax2-2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,4),與x軸交于點(diǎn)A,B,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0).
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)M在拋物線上,且△ABC與△ABM的面積相等,直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Q作QE∥AC,交BC于點(diǎn)E,連接CQ.當(dāng)△CQE的面積最大時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(4)若平行于x軸的動(dòng)直線l與線段AC交于點(diǎn)F,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,0).問(wèn):是否存在這樣的直線l,使得△ODF是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出直線l的解析式;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知,如圖,拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,且OA≠OB,OA=OC,設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
(1)求p、q的值.
(2)在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形?若存在,求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)連接PA、AC.問(wèn):在直線PC上,是否存在這樣點(diǎn)E(不與點(diǎn)C重合),使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似?若存在,求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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