Question

（2012•朝陽）已知，如圖，在平面直角坐標系中，Rt△ABC的斜邊BC在x軸上，直角頂點A在y軸的正半軸上，A（0，2），B（-1，0）．
（1）求點C的坐標；
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）設(shè)點P（m，n）是拋物線在第一象限部分上的點，△PAC的面積為S，求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求使S最大時點P的坐標；
（4）在拋物線對稱軸上，是否存在這樣的點M，使得△MPC（P為上述（3）問中使S最大時的點）為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）Rt△ABC中，AO⊥BC，且知道了OA、OB的長，由射影定理能求出OC的長，也就得到了點C的坐標．
（2）利用待定系數(shù)法即可確定拋物線的解析式，由x=-

b

2a

能求出拋物線的對稱軸．
（3）首先求出直線AC的解析式，過點P作x軸的垂線，交直線AC于Q，在知道拋物線和直線AC解析式的情況下，用m表示出點P、Q的坐標，兩點縱坐標差的絕對值即為線段PQ的長，而S=

1

2

AC•PQ，據(jù)此求得關(guān)于S、m的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可確定S最大時點P的坐標．
（4）首先設(shè)出點M的坐標，然后列出△MPC的三邊長，若該三角形是等腰三角形，根據(jù)①MP=MC、②MP=PC、③MC=PC列出等式求解即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，AO⊥BC，OA=2，OB=1，
則：OC=

OA2

OB

=4，
∴C（4，0）．

（2）設(shè)拋物線的解析式：y=a（x+1）（x-4），代入點A的坐標，得：
a（0+1）（0-4）=2，a=-

1

2

∴拋物線的解析式：y=-

1

2

（x+1）（x-4）=-

1

2

x²+

3

2

x+2，對稱軸 x=

3

2

．

（3）設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+2，代入點C（4，0），得：
4k+2=0，k=-

1

2

∴直線AC：y=-

1

2

x+2；
過點P作PQ⊥x軸于H，交直線AC于Q，設(shè)P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2）、
∴S_梯形AOHP=

1

2

[2+（-

1

2

m²+

3

2

m+2）]m=-

1

4

m³+

3

4

m²+2m，
S_△PHC=

1

2

（4-m）（-

1

2

m²+

3

2

m+2）=

1

4

m³-

7

4

m²+2m+4，
S_△AOC=

1

2

×4×2=4，
S=S_梯形AOHP+S_△PHC-S_△AOC=-m²+4m=-（m-2）²+4，
∴當(dāng)m=2，即 P（2，3）時，S的值最大．

（4）依題意，設(shè)M（

3

2

，b），已知P（2，3）、C（4，0），則有：
MP²=b²-6b+

37

4

、MC²=b²+

25

4

、PC²=13；
當(dāng)MP=MC時，b²-6b+

37

4

=b²+

25

4

，解得 b=

1

2

；
當(dāng)MP=PC時，b²-6b+

37

4

=13，解得 b=

6± 51

2

；
當(dāng)MC=PC時，b²+

25

4

=13，解得 b=±

3 3

2

；
綜上，存在符合條件的M點，且坐標為 （

3

2

，

1

2

）、（

3

2

，

6+ 51

2

）、（

3

2

，

6- 51

2

）、（

3

2

，

3 3

2

）、（

3

2

，-

3 3

2

）．

點評：題目主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、三角形面積的求法以及等腰三角形的判定和性質(zhì)．類似（4）題：在等腰三角形的腰和底不確定的情況下，一定要進行分類討論．