Question

已知：在四邊形ABCD中，∠BAD=60°，AB=AD，AC=20．
（1）若∠B=∠D=90°，如圖1，則四邊形ABCD的面積是______．
（2）若∠B+∠D=180°，如圖2，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

解：（1）∵∠B=∠D=90°
在RtABC和Rt△ADC中，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴∠BAC=∠DAC，
而∠BAD=60°，
∴∠BAC=30°，
∴BC=AC=10，AB=BC=10，
∴S_{四邊形ABCD}=2S_△ABC=2××10×10=100．
故答案為100；

（2）如圖，∵∠BAD=60°，AB=AD，
∴把△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABC′，
∴∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°
∵∠ABC+∠D=180°，
∴∠ABC+∠ABC′=180°，
∴C′點在CB的延長線上，
而AC′=AC，∠C′AC=60°，
∴△ACC′為等邊三角形，
∴S_{四邊形ABCD}=S_△AC′C=AC²=×400=100．
分析：（1）由于∠B=∠D=90，AB=AD，AC為公共邊，利用“HL”可證明Rt△ABC≌Rt△ADC，則∠BAC=∠DAC=30°，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關(guān)系得到BC=AC=10，AB=BC=10，然后根據(jù)
S_{四邊形ABCD}=2S_△ABC進行計算即可；
（2）由于∠BAD=60°，AB=AD，則可把△ADC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ABD′，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC′=∠D，AC′=AC，∠C′AC=60°，而∠ABC+∠D=180°，則∠ABC+∠ABC′=180°，
得到C′點在CB的延長線上，所以△ACC′為等邊三角形，然后利用S_{四邊形ABCD}=S_△AC′C=AC²進行計算即可．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了含30°的直角三角形三邊的關(guān)系與等邊三角形的性質(zhì)．