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13.如圖,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A,B兩點,它的對稱軸與x軸交于點N,過頂點M作ME⊥y軸于點E,連接BE交MN于點F,已知點A的坐標為(-1,0),B的坐標為(3,0).
(1)求該拋物線的解析式及頂點M的坐標;
(2)直接寫出△EMF與△BNF的面積之比以及點F的坐標.

分析 (1)由于已知拋物線與x軸的交點坐標,則可設交點式y(tǒng)=a(x+1)(x-3),化為一般式后得-2a=2,解得a=1,于是得到拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;然后配成頂點式得到M點的坐標;
(2)先確定E(0,4),再利用EM∥BN可得△EMF∽△BNF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得SEMFSBNF=(EMBN2=14MFNF=EMBN=12,則可計算出FN=83,從而得到點F的坐標.

解答 解:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+1)(x-3),即y=ax2-2ax-3a,
則-2a=2,解得a=1,
所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3;
y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,則M點的坐標為(1,4);
(2)∵ME⊥y軸,
∴E(0,4),
∵拋物線的對稱軸為直線x=1,
∴N(1,0),
∴BN=3-1=2,
∵EM∥BN,
∴△EMF∽△BNF,
SEMFSBNF=(EMBN2=(122=14;
MFNF=EMBN=12
而MN=4,
∴FN=23×4=83
∴點F的坐標為(1,83).

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點:從二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)(a,b,c是常數(shù),a≠0)中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標(x1,0),(x2,0).解決(2)小題的關鍵是利用相似三角形的判斷與性質(zhì).

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