Question

某商店經(jīng)營(yíng)兒童益智玩具，已知成批購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)：銷(xiāo)售單價(jià)是30元時(shí)，月銷(xiāo)售量是230件，而銷(xiāo)售單價(jià)每上漲1元，月銷(xiāo)售量就減少10件，但每件玩具售價(jià)不能高于40元．設(shè)每件玩具的銷(xiāo)售單價(jià)上漲了x元時(shí)（x為正整數(shù)），月銷(xiāo)售利潤(rùn)為y元．
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍．
（2）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)恰為2520元？
（3）每件玩具的售價(jià)定為多少元時(shí)可使月銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？最大的月利潤(rùn)是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意知一件玩具的利潤(rùn)為（30+x-20）元，月銷(xiāo)售量為（230-10x），然后根據(jù)月銷(xiāo)售利潤(rùn)=一件玩具的利潤(rùn)×月銷(xiāo)售量即可求出函數(shù)關(guān)系式．
（2）把y=2520時(shí)代入y=-10x²+130x+2300中，求出x的值即可．
（3）把y=-10x²+130x+2300化成頂點(diǎn)式，求得當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值，再根據(jù)0＜x≤10且x為正整數(shù)，分別計(jì)算出當(dāng)x=6和x=7時(shí)y的值即可．
解答：解：（1）根據(jù)題意得：
y=（30+x-20）（230-10x）=-10x²+130x+2300，
自變量x的取值范圍是：0＜x≤10且x為正整數(shù)；

（2）當(dāng)y=2520時(shí)，得-10x²+130x+2300=2520，
解得x₁=2，x₂=11（不合題意，舍去）                        
當(dāng)x=2時(shí)，30+x=32（元）
答：每件玩具的售價(jià)定為32元時(shí)，月銷(xiāo)售利潤(rùn)恰為2520元．

（3）根據(jù)題意得：
y=-10x²+130x+2300
=-10（x-6.5）²+2722.5，
∵a=-10＜0，
∴當(dāng)x=6.5時(shí)，y有最大值為2722.5，
∵0＜x≤10且x為正整數(shù)，
∴當(dāng)x=6時(shí)，30+x=36，y=2720（元），
當(dāng)x=7時(shí)，30+x=37，y=2720（元），
答：每件玩具的售價(jià)定為36元或37元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤(rùn)，最大的月利潤(rùn)是2720元．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，求出函數(shù)的解析式，用到的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)和解一元二次方程．