Question

試說明：將和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

寫成最簡分數(shù)

m

n

時，m不會是5的倍數(shù)．

Answer 1

分析：先全部通分，得到分母=40!，分子=40!+

40!

2

+

40!

3

+…+

40!

40

，再將分子與分母中5的倍數(shù)約掉，即可發(fā)現(xiàn)m不會是5的倍數(shù)．

解答：證明：通分得，1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

=

40!+ 40! 2 + 40! 3 +…+ 40! 40

40!

（40!=1×2×3×…×40）．
觀察發(fā)現(xiàn)：分母包括9個5的乘積（5，10，15，20，25，30，35，40），即分母含有因數(shù)5⁹．如果m是5的倍數(shù)，那么分子至少包括10個5的乘積．
現(xiàn)在看分子：分子是40個數(shù)的和，其中每一個數(shù)都是1×2×3×…×40除以一個1到40的數(shù)，這40個數(shù)中有32個數(shù)是5⁹的倍數(shù)（就是除以的那個數(shù)不是5的倍數(shù)），7個數(shù)是5⁸的倍數(shù)（除以的那個數(shù)是5的倍數(shù)但不是25），1個數(shù)是5⁷的倍數(shù)（除以的數(shù)是25），所以，分子可以寫成5⁷（5²A+5B+C），由于（5²A+5B）是5的倍數(shù)，而C不是5的倍數(shù)，所以（5²A+5B+C）不是5的倍數(shù)，即分子僅包含5⁷，而分母包含5⁹，所以約分后的分子（5²A+5B+C）不是5的倍數(shù)．
即將和1+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

40

寫成最簡分數(shù)

m

n

時，m不會是5的倍數(shù)．

點評：本題考查了質(zhì)因數(shù)分解，屬于競賽題型，有一定難度，找出通分后分子與分母的公因數(shù)5⁷是解題的關(guān)鍵．