Question

探究：在圖甲中，已知點(diǎn)E、F分別為線段AB、CD的中點(diǎn)．
①若A（-1，0），B（3，0），則E點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

；
②若C（-2，+2），D（-2，-1），點(diǎn)則F點(diǎn)坐標(biāo)為

 

．
歸納：無論線段AB處于直角坐標(biāo)系中的哪個(gè)位置，當(dāng)其端點(diǎn)為A（a，b），B（c，d），AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）時(shí)，x=

 

，y=

 

．（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示，不必證明）
運(yùn)用：在圖乙中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，-3），B（3，1）．
①此一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為

 

；
②若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：探究：①利用圖形可確定E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；②利用圖形可確定線段CD的中點(diǎn)F的坐標(biāo)；
運(yùn)用利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解；
歸納：①運(yùn)用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的解析式；
②分類討論：當(dāng)以AB為對角線時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對角線交與點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，先利用歸納中的結(jié)論由A、B坐標(biāo)確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)O與Q點(diǎn)坐標(biāo)確定P點(diǎn)坐標(biāo)；同理可確定當(dāng)OB和OA為對角線時(shí)對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：探究：①點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為

-1+3

2

=1，縱坐標(biāo)為

0+0

2

，則E點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）；
②F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

-2-2

2

=-2，縱坐標(biāo)為

2-1

2

=

1

2

，則F點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，

1

2

）；
歸納：x=

a+c

2

，y=

b+d

2

；
運(yùn)用：①設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（-1，-3），B（3，1）代入得

-k+b=-3 3k+b=1

，解得

k=1 b=-2

，
所以直線AB的解析式為y=x-2；
設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=

t

x

，
把A（-1，-3）代入得t=-1×（-3）=3，
所以反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

；
②當(dāng)以AB為對角線時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對角線交與點(diǎn)Q，
∴Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

-1+3

2

，

-3+1

2

），即Q（1，-1），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則

0+m

2

=1，

0+n

2

=-1，解得m=2，n=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；
同理可得當(dāng)以O(shè)B為對角線時(shí)，四邊形OABP為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）；當(dāng)以O(shè)A為對角線時(shí)，四邊形OPAB為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4），
∴滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）或（4，4）或（-4，-4）．
故答案為（1，0）；（-2，

1

2

）；

a+c

2

，

b+d

2

；y=x-2，y=

3

x

．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)的綜合題：掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平時(shí)四邊形的判定與性質(zhì)．