Question

【題目】如圖，直線l1：分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C為x軸上任意一點(diǎn)，直線l2：經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且與直線l1交于點(diǎn)D，與y軸交于點(diǎn)E，連結(jié)AE．

(1)當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，①求直線l2的函數(shù)表達(dá)式；②求證：AE平分；

(2)問(wèn)：是否存在點(diǎn)C，使是以CE為一腰的等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)①；②答案見(jiàn)解析；（2）存在點(diǎn)C使是以CE為一腰的等腰三角形, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)或(8,0).

【解析】

(1)①由點(diǎn)C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出b值，此題得解；

②利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)A、E的坐標(biāo)，利用勾股定理以及兩點(diǎn)間的距離即可求出AC=AB，由正切的定義即可得出∠ABO=∠ACD，結(jié)合公共角即可利用全等三角形的判定定理ASA證出△ABO≌△ACD，從而得出AO=AD、∠ADC=∠AOB=90°，再利用全等直角三角形的判定定理HL即可證出Rt△ADE≌Rt△AOE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可找出∠DAE=∠OAE，由此即可證出AE平分∠BAC；

（2）△ACE是以CE為一腰的等腰三角形分兩種情況：①CE=AE時(shí)，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)CA=CE時(shí)，設(shè)點(diǎn)C（m，0）（m>0），則OC=m，OE=OC=m，CA=m+2，利用勾股定理求出CE，由CA=CE即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出點(diǎn)C的坐標(biāo)．綜上即可得出結(jié)論．

(1)①將C(2,0)代入y=，0=,解得： ，

∴直線l2的函數(shù)表達(dá)式為 .

②證明：當(dāng) 時(shí)，x=3，

∴點(diǎn)A(3,0)，

∴ , ,AC=2(3)=5=AB.

∵當(dāng)x=0時(shí) ，

∴ ，

∴∠ABO=∠ACD.

在△ABO和△ACD中,

，

∴△ABO≌△ACD(ASA)，

∴ .

在Rt△ADE和Rt△AOE中,

，

∴Rt△ADE≌Rt△AOE(HL)，

∴∠DAE=∠OAE，

∴AE平分∠BAC.

(2)△ACE是以CE為一腰的等腰三角形分兩種情況：

①當(dāng)AE=CE時(shí)，

∵EO⊥AC，

∴OC=OA，

∴點(diǎn)C(3,0)；

②當(dāng)CA=CE時(shí),設(shè)點(diǎn)C(m,0)(m>0),則 ，CA=m+2，

∴ ，

∴ ，

解得：m=8，

∴點(diǎn)C(8,0).

綜上所述：存在點(diǎn)C,使△ACE是以CE為一腰的等腰三角形,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,0)或(8,0).