已知,拋物線y=ax2+bx-2與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A(1,0),B(4,0),與y軸的交點(diǎn)為C.
(1)求出拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)P是在直線x=4右側(cè)的拋物線上的一動點(diǎn),過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似?若存在,請求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

解:(1)把A(1,0)和B(4,0)代入拋物線解析式得:
,
②-①×4得:12a=-6,解得a=-,
把a(bǔ)=-代入①,解得b=,
所以方程組的解為:,
∴拋物線解析式為y=-x2+x-2,
令x=0,解得y=2,則C的坐標(biāo)為(0,-2);


(2)存在.根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
設(shè)P的坐標(biāo)為(m,-m2+m-2)(m>4),
根據(jù)題意得:OA=1,OC=2,OB=4,
則PM=m2-m+2,MA=MO-OA=m-1,
若△BOC∽△AMP,
=,即=,
化簡得:m2-6m+5=0,即(m-1)(m-5)=0,
解得:m1=1(舍去),m2=5,
則P坐標(biāo)為(5,-2);
若△BOC∽△PMA,
=,即=,
化簡得:m2-9m+8=0,即(m-1)(m-8)=0,
解得:m1=1(舍去),m2=8,
則P的坐標(biāo)為(8,-14),
綜上,滿足題意的P有兩個(gè),其坐標(biāo)分別為(5,-2)或(8,-14).
分析:(1)由A和B兩點(diǎn)在拋物線上,故把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式中,得到關(guān)于a與b的方程組,求出方程組的解即可得到a與b的值,從而確定出拋物線解析式,然后令求出的解析式中x=0,求出y的值即為C的縱坐標(biāo),寫出C的坐標(biāo)即可;
(2)存在P點(diǎn),使得以A,P,M為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似,理由為:根據(jù)題意化簡圖形,如圖所示,根據(jù)題意分別求出OA,OB及OC的長,設(shè)出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,代入拋物線解析式表示出縱坐標(biāo),因縱坐標(biāo)為負(fù)值,求出其縱坐標(biāo)的相反數(shù)即為PM的長,且用OM-OA表示出AM的長,若三角形相似,根據(jù)對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)不同分兩種情況,由相似三角形對應(yīng)邊成比例列出關(guān)于m的方程,分別求出方程的解即可得到m的值,從而確定出P的坐標(biāo).
點(diǎn)評:此題為二次函數(shù)的綜合題,涉及的知識點(diǎn)有相似三角形的性質(zhì),一元二次方程的解法,以及拋物線解析式的確定,要求學(xué)生借助圖形,利用數(shù)形結(jié)合及分類討論的思想來解決問題,根據(jù)相似得比例時(shí)注意對應(yīng)點(diǎn)要找對.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=x2-(a+b)x+
c2
4
,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為
3
,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否精英家教網(wǎng)存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知:拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),一條直線y=ax+b,它們的系數(shù)之間滿足如下關(guān)系:a>b>c.
(1)求證:拋物線與直線一定有兩個(gè)不同的交點(diǎn);
(2)設(shè)拋物線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)為A、B,過A、B分別作x軸的垂線,垂足分別為A1、B1.令k=
c
a
,試問:是否存在實(shí)數(shù)k,使線段A1B1的長為4
2
.如果存在,求出k的值;如果不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•貴陽)已知:直線y=ax+b過拋物線y=-x2-2x+3的頂點(diǎn)P,如圖所示.
(1)頂點(diǎn)P的坐標(biāo)是
(-1,4)
(-1,4)
;
(2)若直線y=ax+b經(jīng)過另一點(diǎn)A(0,11),求出該直線的表達(dá)式;
(3)在(2)的條件下,若有一條直線y=mx+n與直線y=ax+b關(guān)于x軸成軸對稱,求直線y=mx+n與拋物線y=-x2-2x+3的交點(diǎn)坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知:拋物線數(shù)學(xué)公式,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為數(shù)學(xué)公式,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2009年四川省綿陽市南山中學(xué)自主招生考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

已知:拋物線,其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的對邊.
(1)求證:拋物線與x軸必有兩個(gè)不同交點(diǎn);
(2)設(shè)直線y=ax-bc與拋物線交于E、F兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)M,拋物線與y軸交于點(diǎn)N,若拋物線的對稱軸為x=a,△MNE與△MNF的面積比為5:1,求證:△ABC是等邊三角形;
(3)在(2)的條件下,設(shè)△ABC的面積為,拋物線與x軸交于點(diǎn)P、Q,問是否存在過P、Q兩點(diǎn)且與y軸相切的圓?若存在,求出圓的圓心坐標(biāo),若不存在,請說明理由.

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