Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²+2ax+c=0的兩個實數(shù)根之差的平方為m．
（1）試分別判斷當a=1，c=-3與a=2，c=

2

時，m≥4是否成立，并說明理由；
（2）若對于任意一個非零的實數(shù)a，m≥4總成立，求實數(shù)c及m的值．

Answer 1

分析：（1）把a、c的值分別代入ax²+2ax+c=0，①求出方程的根以及兩個實數(shù)根之差的平方，判斷m的值；②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出m的值的取值范圍．
（2）先根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，表述出兩根的和與兩根的差，即可用a，c表示出m的值，依據(jù)對于任意一個非零的實數(shù)a，m≥4總成立，即可確定c和m的值．

解答：解：（1）當a=1，c=-3時，m≥4成立；
當a=2，c=

2

時，m≥4不成立；
當a=1，c=-3時，原方程為x²+2x-3=0，則x₁=1，x₂=-3，
∴m=[1-（-3）]²=16＞4，
即m≥4成立．
當a=2，c=

2

時，原方程為2x²+4x+

2

=0．
由△=4²-4×2×

2

＞0，可設(shè)方程的兩個根分別為x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

2

2

，
∴m=（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4-2

2

＜4，
即m≥4不成立．
（2）依題意，設(shè)原方程的兩個實數(shù)根是x₁，x₂，
則x₁+x₂=-2，x₁•x₂=

c

a

，
可得m=（x₁-x₂）²=4-

4c

a

．
∵對于任意一個非零的實數(shù)a都有4-

4c

a

≥4，
∴c=0．
當c=0時，△=4a²＞0，
答：c=0，m=4．

點評：此題具有一定的開放性，結(jié)合根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系，考查了同學們利用不等關(guān)系推理特殊值的能力．