Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=CD=2，∠C=60°，M是BC的中點．
（1）求證：△MDC是等邊三角形；
（2）將△MDC繞點M旋轉，當MD（即MD′）與AB交于一點E，MC（即MC′）同時與AD交于一點F時，點E，F和點A構成△AEF．試探究△AEF的周長是否存在最小值？如果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出△AEF周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）過點D作DP⊥BC于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，得到CP=BQ=

1

2

AB，CP+BQ=

1

2

AB=1，得出BC=2CD，由點M是BC的中點，推出CM=CD，由∠C=60°，根據等邊三角形的判定即可得到答案；
（2）△AEF的周長存在最小值，理由是連接AM，由ABMD是菱形，得出△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，推出∠BME=∠AMF，證出△BME≌△AMF（ASA），得出BE=AF，ME=MF，推出△EMF是等邊三角形，根據MF的最小值為點M到AD的距離

3

，即EF的最小值是

3

，即可求出△AEF的周長．

解答：（1）證明：連接AM，過點D作DP⊥BC于點P，過點A作AQ⊥BC于點Q，
即AQ∥DP，
∵AD∥BC，
∴四邊形ADPQ是平行四邊形，
∴AD=QP=AB=CD，
∵∠C=∠B=60°，
∴∠BAQ=∠CDP=30°，
∴CP=BQ=

1

2

AB=1，
即BC=1+1+2=4，
∵CD=2，
∴BC=2CD，
∵點M是BC的中點，
BC=2CM，
∴CD=CM，
∵∠C=60°，
∴△MDC是等邊三角形．

（2）解：△AEF的周長存在最小值，理由如下：
過D作DN⊥BC于N，連接AM，
∵∠C=60°，
∴∠CDN=30°，
∵CD=2，
∴CN=1，
∴由勾股定理得：DN=

3

，
連接AM，由（1）平行四邊形ABMD是菱形，
△MAB，△MAD和△MC′D′是等邊三角形，
∠BMA=∠BME+∠AME=60°，∠EMF=∠AMF+∠AME=60°，
∴∠BME=∠AMF，
在△BME與△AMF中，

∠B=∠FAM BM=AM ∠BME=∠AMF

，
∴△BME≌△AMF（ASA），
∴BE=AF，ME=MF，AE+AF=AE+BE=AB，
∵∠EMF=∠DMC=60°，故△EMF是等邊三角形，EF=MF，
∵MF的最小值為點M到AD的距離等于DN的長，即是

3

，即EF的最小值是

3

，
△AEF的周長=AE+AF+EF=AB+EF，
△AEF的周長的最小值為2+

3

，
答：存在，△AEF的周長的最小值為2+

3

．

點評：本題主要考查對等邊三角形的性質和判定，旋轉的性質，全等三角形的性質和判定，等腰梯形的性質等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．