Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x+3分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)．點(diǎn)C在第二象限，⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點(diǎn)，連接CE、CF．

（1）如圖①，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，⊙C的半徑為．若△CDE∽△BAO，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）如圖②，連接BC，當(dāng)BC∥x軸時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得CF⊥AF，CE⊥AE，再利用相似的性質(zhì)由△CDE∽△BAO得到∠CDE=∠OAB，則CD∥AF，于是D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后把D點(diǎn)縱坐標(biāo)代入直線解析式即可得到D點(diǎn)的橫坐標(biāo)；
（2）先確定A點(diǎn)坐標(biāo)（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)（0，3），由于⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點(diǎn)，得到CF⊥AF，CE⊥AE，所以四邊形BCFO為矩形，則CF=OB=3，得到CE=CF=3，
易證得△BCE≌△AOB，則CB=OA=4，然后可寫(xiě)出C點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點(diǎn)，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∵△CDE∽△BAO，
∴∠CDE=∠OAB，
∴CD∥AF，
∵⊙C的半徑為，即CF=，
∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
把y=代入y=-x+3得-x+3=，解得x=2，
∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，）；

（2）把x=0代入y=-x+3得y=3；把y=0代入-x+3得-x+3=0，解得x=4，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3），
∵⊙C與直線AB和x軸分別相切于E、F兩點(diǎn)，
∴CF⊥AF，CE⊥AE，
∴四邊形BCFO為矩形，
∴CF=OB=3，
∴CE=CF=3，
在△BCE和△AOB中
，
∴△BCE≌△AOB，
∴CB=OA=4，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，3）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑；常利用三角形相似或全等求線段的長(zhǎng)；明確求點(diǎn)的坐標(biāo)就是求有關(guān)線段的長(zhǎng)．