Question

【提出問題】

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等邊△AMN，連結(jié)CN．求證：∠ABC=∠ACN．

【類比探究】

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C），其它條件不變，（1）中結(jié)論∠ABC=∠ACN還成立嗎？請說明理由．

【拓展延伸】

（3）如圖3，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AM，以AM為邊作等腰△AMN，使頂角∠AMN=∠ABC．連結(jié)CN．試探究∠ABC與∠ACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

（1）證明見試題解析；（2）結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立，理由見試題解析；（3）∠ABC=∠ACN，理由見試題解析．

【解析】

試題分析：（1）利用SAS可證明△BAM≌△CAN，繼而得出結(jié)論；

（2）也可以通過證明△BAM≌△CAN，得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣；

（3）首先得出∠BAC=∠MAN，從而判定△ABC∽△AMN，得到，根據(jù)∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，從而判定△BAM∽△CAN，得出結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACN仍成立．理由如下：

∵△ABC、△AMN是等邊三角形，∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，∴∠BAM=∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC=∠ACN．

（3）解：∠ABC=∠ACN．理由如下：

∵BA=BC，MA=MN，頂角∠ABC=∠AMN，∴底角∠BAC=∠MAN，∴△ABC∽△AMN，∴，則，又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM=∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC=∠ACN．

考點(diǎn)：1．相似三角形的判定與性質(zhì)；2．全等三角形的判定與性質(zhì)；3．等邊三角形的性質(zhì)．