Question

一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A₁，A₂，A₃，…，A₁₁，A₁₂．以它們?yōu)轫旤c(diǎn)連三角形，使每個(gè)點(diǎn)恰好是一個(gè)三角形的頂點(diǎn)，且各個(gè)三角形的邊都不相交．問：有多少種連法？

Answer 1

分析：利用遞推的方法，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．

解答：解：（1）如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法；
（2）如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A₁所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A₁在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法有3種．

（3）如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A₁所在的三角形．此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在：
①A₁所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上；
在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的弧；如果是情形①，則由（2），
這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法；共有12種連法．

（4）最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A₁所在三角形，剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能：
①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上；
②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；
③每三個(gè)點(diǎn)在A₁所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3；
共有12×3+3×6+1=55種．

所以共有55種不同的連法．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了計(jì)數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答．