Question

四邊形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，連接DF，G為DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，EC．
（1）如圖1，若點(diǎn)E在CB邊的延長(zhǎng)線上，直接寫出EG與GC的位置關(guān)系及的值；
（2）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置，請(qǐng)問(wèn)（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)寫出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）將圖1中的△BEF繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），若BE=1，，當(dāng)E，F(xiàn)，D三點(diǎn)共線時(shí)，求DF的長(zhǎng)及tan∠ABF的值．

Answer 1

（1）EG⊥CG，；（2）結(jié)論還成立，證明見(jiàn)解析；

試題分析：（1）過(guò)G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H為EC中點(diǎn)，根據(jù)梯形的中位線求出EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），推出GH=EH=BC，根據(jù)直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可.
（2）延長(zhǎng)EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過(guò)E作BC的垂線EM，延長(zhǎng)CD，證△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，證出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案.
（3）連接BD，求出，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．
試題解析：（1）EG⊥CG，，理由是：
如圖1，過(guò)G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC.
∵G為DF中點(diǎn)，∴H為EC中點(diǎn).
∴EG=GC，GH=（EF+DC）=（EB+BC），即GH=EH=BC.
∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形.
∴

（2）結(jié)論還成立，證明如下：
如圖2，延長(zhǎng)EG到H，使EG=GH，連接CH、EC，過(guò)E作BC的垂線EM，延長(zhǎng)CD，
∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，∴△EFG≌△HDG（SAS）.
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH.
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.
在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH.
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G為EH的中點(diǎn)，
∴EG⊥GC，，即（1）中的結(jié)論仍然成立.

（3）如圖3，連接BD，
∵AB=，正方形ABCD，∴BD=2.∴.
∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.
∴.∴DE=BE=.
∴DF=DE-EF=.