Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AB=4，弦BC=3，∠ABC的平分線交半圓于D，AD，BC的延長(zhǎng)線交于E，則四邊形ABCD的面積是△DCE面積的（ ）

A．7倍
B．8倍
C．3倍
D．4倍

Answer 1

【答案】分析：連OC，AC，先由DB平分∠ABC，可得到OD∥BE，則OD為△ABC的中位線，OD=AB=×4=2，EC=1，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC==，從而在Rt△ACE中，利用勾股定理得到AE==2 ，然后利用△EDC∽△EBA得到它們的面積比，最后得四邊形ABCD的面積與△DCE面積的數(shù)量關(guān)系．
解答：解：連OC，AC，如圖，
∵DB平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD，
而∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
而O為AB的中點(diǎn)，
∴OD為△ABC的中位線，
∴OD=AB=×4=2，
∴BE=4，則EC=4-3=1，
由AB是直徑，所以∠ACB=90°，
∴AC==，
∴AE==2 ，
又∵∠EDC=∠ABE，
∴△EDC∽△EBA，
∴S_△EDC：S_△EBA=（ ）²=（ ）²=，
所以S_△EDC：S_{四邊形ABCD}=1：7，
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對(duì)的圓周角相等，一條弧所對(duì)的圓周角是它所對(duì)的圓心角的一半．同時(shí)考查了圓周角的推論：直徑所對(duì)的圓周角為90度，