Question

在平面直角坐標系中，A（-1，0），B（3，0）．
（1）若拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點（0，-3），求此拋物線的頂點坐標；
（2）如圖，小敏發(fā)現(xiàn)所有過A，B兩點的拋物線如果與y軸負半軸交于點C，M為拋物線的頂點，那么△ACM與△ACB的面積比不變，請你求出這個比值；
（3）若對稱軸是AB的中垂線l的拋物線與x軸交于點E，F(xiàn)，與y軸交于點C，過C作CP∥x軸交l于點P，M為此拋物線的頂點．若四邊形PEMF是有一個內(nèi)角為60°的菱形，求此拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）設(shè)過拋物線A，B兩點，且與y軸交于點（0，-3），的拋物線解析式為y=ax²+bx+c，
把A（-1，0），B（3，0），點（0，-3）代入
得，
解得，
故此拋物線的解析式為y=x²-2x-3，頂點坐標為（1，-4）；

（2）由題意，設(shè)y=a（x+1）（x-3），即y=ax²-2ax-3a，
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3a），M（1，-4a），
∴S_△ACB=×4×|-3a|=6|a|，
而a＞0，
∴S_△ACB=6a．
作MD⊥x軸于D，
又S_△ACM=S_△ACO+S_OCMD-S_△AMD=•1•3a+（3a+4a）-•2•4a=a，
∴S_△ACM：S_△ACB=1：6；

（3）①當拋物線開口向上時，
設(shè)y=a（x-1）²+k，
即y=ax²-2ax+a+k，
有菱形可知|a+k|=|k|，a+k＞0，k＜0，
∴k=，
∴y=ax²-2ax+，
∴|EF|=
記l與x軸交點為D，
若∠PEM=60°，則∠FEM=30°，MD=DE•tan30°=，
∴k=-，a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-x+
若∠PEM=120°，則∠FEM=60°，MD=DE•tan60°=，
∴k=-，a=，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x+
②當拋物線開口向下時，同理可得y=-x²+x-，
y=-x²+2x-．
分析：（1）由于拋物線過A，B兩點，且與y軸交于點（0，-3），可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，再求出頂點坐標；
（2）先設(shè)出過A，B兩點拋物線的解析式，作MD⊥x軸于D，再分別求出A、B、C、M各點的坐標，再根據(jù)圖形求各三角形的面積，最后由三角形之間的和差關(guān)系△ACM的面積進行計算；
（3）因為已知拋物線的頂點坐標及與y軸的交點，可設(shè)出拋物線的解析式，由于不明確拋物線的開口方向，故應(yīng)分類討論．在進行分類討論時還要注意討論哪個角為60°，不要漏解．
點評：此題比較復(fù)雜，綜合性較強，考查的是二次函數(shù)圖象上點的坐標特點，及三角形的面積，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差”關(guān)系求解．在解（3）時一定要分類討論．