Question

已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=kx-4k的圖象與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過O、A兩點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)，并用含a的代數(shù)式表示b；
（2）已知點(diǎn)C（1，5），點(diǎn)B是拋物線上一點(diǎn)，且四邊形OABC為平行四邊形，求此時(shí)拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)D是拋物線上且在直線OB下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△OBD是等腰三角形時(shí)，符合條件的點(diǎn)D有幾個(gè)？請求出其中一個(gè)點(diǎn)D的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由于拋物線過原點(diǎn)，因此c=0，可用一次函數(shù)的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出a，b的關(guān)系式．
（2）由于四邊形OABC是平行四邊形，因此BC平行且相等于OA，OA=4，因此將C點(diǎn)的坐標(biāo)向左平移4個(gè)單位就可得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將B的坐標(biāo)代入拋物線中即可得出二次函數(shù)的解析式．
（3）應(yīng)該有兩個(gè)符合條件的D點(diǎn)．
①OD=BD，此時(shí)D為OB垂直平分線與拋物線的交點(diǎn)．②OB=BD．
可設(shè)出D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離公式表示出OB，BD，OD的長，然后根據(jù)不同的情況可得出不同的關(guān)于D點(diǎn)坐標(biāo)的方程，經(jīng)過解方程即可求出D點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：（1）一次函數(shù)y=kx-4k，
令y=0，則x=4，
∴A（4，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c（a＞0）經(jīng)過O、A兩點(diǎn)，
∴

c=0 16a+4b+c=0

，
∴b=-4a．

（2）如圖1，
∵四邊形OABC是平行四邊形，
∴OA=BC=4．
∵C（1，5），
∴B（5，5）
∵點(diǎn)B在拋物線y=ax²-4ax上，
∴5=25a-20a，
∴a=1．
∴y=x²-4x．

（3）符合條件的點(diǎn)D有2個(gè)．
如圖2，作線段OB的中垂線，交拋物線于點(diǎn)D，
分別交OB、x軸于點(diǎn)E、F，
則OD=BD，點(diǎn)D為滿足條件的一個(gè)點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，x²-4x）．
則OD²=x²+（x²-4x）²，
BD²=（5-x）²+（5-x²+4x）²
∴x²+（x²-4x）²=（5-x）²+（5-x²+4x）²，
解得x=

3± 29

2

（負(fù)值舍去）．
∴D（

3+ 29

2

，

7- 29

2

）．
本小題也可通過求出直線EF的解析式后，進(jìn)一步求與拋物線交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、平行四邊形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的構(gòu)成情況等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．