Question

如圖，正方形ABCD中，有一直徑為BC的半圓，BC＝2cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)E、F，分別從點(diǎn)B、點(diǎn)A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動，點(diǎn)F沿折線A－D－C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)行進(jìn)過程中點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時(shí)間為t(秒)．

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，線段EF與BC平行？

(2)設(shè)1＜t＜2，當(dāng)t為何值時(shí)，EF與半圓相切？

(3)當(dāng)1≤t＜2時(shí)，設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P，問E、F運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，說明理由，若不發(fā)生變化，請予以證明，并求AP∶PC的值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設(shè)E、F出發(fā)后，運(yùn)動了t秒時(shí)，有EF∥BC，則BE＝t，CF＝4－2t，即有t＝4－2t，t＝，所以當(dāng)t為秒時(shí)，線段EF與BC平行． 　　(2)設(shè)E、F出發(fā)后運(yùn)動了t秒時(shí)，EF與半圓相切，過點(diǎn)F作KF∥BC交AB于K，則BE＝t，CF＝4－2t，EK＝t－(4－2t)＝3t－4，EF＝FB＋FC＝t＋(4－2t)＝4－t．又因?yàn)镋F2＝EK2＋FK2，所以(4－t)2＝(3t－4)2＋22，2t2－4t＋1＝0，解得t＝．又1＜t＜2，所以t＝．所以，當(dāng)t為秒時(shí)，EF與半圓相切． 　　(3)當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化．證明：設(shè)1≤t＜2時(shí)，E、F出發(fā)后運(yùn)動了t秒鐘時(shí)，EF的位置如圖所示，則有BE＝t，AE＝2－t，CF＝4－2t，所以．又因?yàn)锳B∥DC，所以△AEP∽△CFP． 　　所以，即點(diǎn)P的位置與t的取值無關(guān)，所以當(dāng)1≤t＜2時(shí)，點(diǎn)P的位置不會發(fā)生變化，且AP∶PC的值為．