【題目】將一個(gè)矩形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)
,點(diǎn)
,點(diǎn)E,F分別在邊
,
上.沿著
折疊該紙片,使得點(diǎn)A落在
邊上,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為
,如圖①.再沿
折疊,這時(shí)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)C重合,如圖②.
(Ⅰ)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(Ⅱ)將該矩形紙片展開,再折疊該矩形紙片,使點(diǎn)O與點(diǎn)F重合,折痕與相交于點(diǎn)P,展開矩形紙片,如圖③.
①求的大小;
②點(diǎn)M,N分別為,
上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)
取得最小值時(shí),求點(diǎn)N的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可).
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)①
,②
【解析】
(Ⅰ)由翻折的性質(zhì)可知,,
,再由正方形的性質(zhì)和勾股定理可得OE,繼而即可求解;
(Ⅱ)①連接,由題意和(Ⅰ)可知,而
,
,由等角對(duì)等邊可知
,
,設(shè)
,則
,然后根據(jù)翻折的性質(zhì)可知
即
,把x代入列出方程,解方程求出
,根據(jù)相似三角形的判定可證,
,再根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和即可求解;
②利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等這一性質(zhì)可判斷M、N的位置,進(jìn)而根據(jù)題意即可求解.
解:(Ⅰ)∵點(diǎn),∴
.
由兩次折疊可知,,
.
∴是正方形.∴
.
在中,
.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
(Ⅱ)①如圖③,連接,由
和(Ⅰ)可知,
,而
,
,
故,
.
設(shè),則
,
由即
,
得,解得
.
所以.則有
.
得.又
,則
,
即.
②如圖④所示,過點(diǎn)P作⊥OC于點(diǎn)
,交OF于點(diǎn)M,作
關(guān)于OF的對(duì)稱點(diǎn)N,連接MN,此時(shí)
取得最小值時(shí),且
,
過點(diǎn)N作NG⊥x軸于點(diǎn)G,
∵由(Ⅱ)知,∠AOE=45°,
∴∠NOG=90°-45°=45°
∴OG=NG=.
∴.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標(biāo)系中,直線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)
、點(diǎn)
且
面積為
如圖1,求
的值;
如圖2,點(diǎn)
在
軸的負(fù)半軸上,
在線段
上,連
,作
交線段
于
, 若
點(diǎn)縱坐標(biāo)為
長度為
,求
與
的函數(shù)關(guān)系式(不寫自變量取值范圍);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),拋物線與線段
有兩個(gè)不同的交點(diǎn),其中點(diǎn)
,點(diǎn)
.有下列結(jié)論:
①直線的解析式為
;②方程
有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;③a的取值范圍是
或
.
其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)(
,
,
是常數(shù),
)的自變量x與函數(shù)值y的部分對(duì)應(yīng)值如下表:
… | -1 | 0 | 1 | 3 | … | |
… | 3 | 3 | … |
且當(dāng)時(shí),與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值
.有下列結(jié)論:①
;②3是關(guān)于
的方程
的一個(gè)根;③
.其中,正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖, 在中,
,
, 點(diǎn)
為
中點(diǎn), 點(diǎn)
在邊
上, 連接
,過點(diǎn)
作
上
交
于點(diǎn)
,連接
。下列結(jié)論:
(1)(2)
(3)
(4)
其中正確的是__________(填寫所有正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:二次函數(shù)y = ax2+ bx + c (a≠0)的圖象如圖所示,下列結(jié)論中:
①abc>0;②2a + b>0;③a +b<m(am +b)(m≠1);④(a+c)2< b2;⑤a >1.其中正確的項(xiàng)是( )
A.①②⑤B.①③④C.①②④D.②④⑤
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)G在邊BC的延長線上,CE平分∠BCD,CF平分∠GCD,EF∥BC交CD于點(diǎn)O.
(1)求證:OE=OF;
(2)若點(diǎn)O為CD的中點(diǎn),求證:四邊形DECF是矩形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的半圓交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,延長AE至點(diǎn)F,使EF=AE,連接FB、FC.
(1)求證:四邊形ABFC是菱形;
(2)若AD=,BE=1,求半圓的面積.
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