Question

12．如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，∠B=20°，∠C=60°．
（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度數(shù)；
（2）若圖形發(fā)生了變化，已知的兩個角度數(shù)改為：當(dāng)∠B=30°，∠C=60°，則∠EAD=15°；當(dāng)∠B=50°，∠=60°時，則∠EAD=5°；當(dāng)∠B=60°，∠C=60°時，則∠EAD=0°；當(dāng)∠B=70°，∠C=60°時，則∠EAD=5°；
（3）若∠B和∠C的度數(shù)改為用字母α和β來表示，你能找到∠EAD與α和β之間的關(guān)系嗎？請直接寫出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ACD中，利用直角三角形兩銳角互余列式計算即可求出∠CAD；根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列式求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CAE，然后列式計算即可求出∠DAE；
（2）（3）方法同（1）．

解答 解：（1）∵AD是高，∠C=60°，
∴∠CAD=90°-∠C=90°-60°=30°；
∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-20°-60°=100°，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×100°=50°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=50°-30°=20°；
（2）∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-60°=90°，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×90°=45°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=45°-30°=15°；
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-50°-60°=70°，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×70°=35°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=35°-30°=5°；
∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-60°-60°=60°，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-30°=0°；
∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-60°=50°，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=30°-25°=5°；
故答案為：15，5，0，5；
（3）∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-α-β，
∵AE是角平分線，
∴∠CAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×（180°-α-β）=90°-$\frac{1}{2}$（α+β），
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=90°-$\frac{1}{2}$（α+β）-（90°-β）=$\frac{1}{2}$|β-α|．

點評 本題考查了三角形的內(nèi)角和，角平分線的定義，熟記三角形的內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．