Question

如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，并且OA=OB，CA=CB，直線OB交⊙O于點(diǎn)E，D，連接EC，CD．
（1）試判斷直線AB與⊙O的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求證：BC²=BD•BE；
（3）若tanE=

1

2

，⊙O的半徑為3，求OA的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題目給的OA=OB，CA=CB的條件，很容易證明直線AB與⊙O的位置關(guān)系是相切．
（2）連接AC，根據(jù)題目所給的條件去證明△BCD∽△BEC，問題可解．
（3）設(shè)BC的長是x，因?yàn)椤鰾CD∽△BEC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可求出OB=OA=2x-3，根據(jù)勾股定理可求解．

解答：解：（1）AB與⊙O相切，連接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴AB與⊙O相切

（2）連接OC，∵OC⊥AB，
∴∠OCB=90°即∠1+∠3=90°，
又∵DE為⊙O的直徑，
∴∠ECD=90°即∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠E=∠2，
∴∠1=∠E，
∵∠B=∠B，
∴△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

BD

BC

，
∴BC²=BD•BE；

（3）∵tanE=

1

2

，∠ECD=90°，
∴

CD

EC

=

1

2

，
∵⊙O的半徑為3，
∴OC=OE=3，
∵△BCD∽△BEC，
∴

BC

BE

=

CD

EC

，設(shè)BC=x，
∴

x

OB+3

=

1

2

，
∴OB=2x-3，
∵∠OCB=90°，
∴OC²+BC²=OB²，
∴9+x²=（2x-3）²，
∴x₁=0（舍去），x₂=4，
∴OA=OB=5．

點(diǎn)評：本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理以及切線的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是熟記這些性質(zhì)定理和判定定理．