Question

如圖，平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點A在x軸的正半軸上，BC與y軸較于點D，點C的坐標為（-3，4）．
（1）點A的坐標為______；
（2）求過點A、O、C的拋物線解析式，并求它的頂點坐標；
（3）在直線AB上是否存在點P，使得一點A、O、P為頂點的三角形與△COD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由菱形的性質得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點A的坐標；
（2）設拋物線的解析式為y=ax（x-5），把C（-3，4）代入，解方程求得a的值，即可得出拋物線的解析式；
（3）由菱形的對角相等可知∠OCD=∠OAB，則以點A、O、P為頂點的三角形與△COD相似時，分兩種情況：①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時，△APO∽△COD；②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．
解答：解：（1）∵四邊形OABC為菱形，
∴BC∥OA，OC=OA=BC，
∵OD⊥OA，
∴OD⊥BC，
∵C（-3，4），
∴CD=3，OD=4，
∴OC==5，
∴A（5，0）．
故答案為：（5，0）；

（2）設拋物線的解析式為y=ax（x-5），
把C（-3，4）代入得24a=4，
解得a=，
則y=x（x-5）=x²-x．
∵y=（x-）²-，
∴頂點坐標為（，-）；

（3）∵∠OCD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，
∴分兩種情況：
①當∠AOP=∠ODC=90°（點P在y軸上）時，△APO∽△COD，
則=，即=，
解得PO=，此時P（0，）；
②當∠OPA=∠ODC=90°時，△AOP≌△COD，則OP=OD=4，
過點P作PM⊥x軸，垂足為M，則△OPM∽△OCD，
==，可得PM=，OM=，此時P（，）；
綜上所述，存在符合要求的點P，它的坐標為（0，）或（，）．
點評：本題是一道二次函數(shù)的綜合題，考查了菱形的性質、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及相似三角形的性質，注意分類討論思想的運用．