Question

南平是海峽西岸經(jīng)濟(jì)區(qū)的綠色腹地．如圖所示，我市的A、B兩地相距20km，B在A的北偏東45°方向上，一森林保護(hù)中心P在A的北偏東30°和B的正西方向上．現(xiàn)計(jì)劃修建的一條高速鐵路將經(jīng)過AB（線段），已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以點(diǎn)P為圓心，半徑為4km的圓形區(qū)域內(nèi)．請(qǐng)問這條高速鐵路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)，為什么？

Answer 1

分析：過P作PM⊥AB于M，延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C．在直角△APC中，運(yùn)用三角函數(shù)用求出AC，BC的長(zhǎng)．在直角△PCA中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PC的長(zhǎng)，從而得到PB的長(zhǎng)．在直角△PMB中，運(yùn)用三角函數(shù)求出PM，比較PM與4km的大小關(guān)系即可．

解答：解：延長(zhǎng)BP作BC⊥AC于C，過P作PM⊥AB于M．
因?yàn)锽在A的北偏東45°方向上，
所以A在B的南偏西45°方向．
在Rt△ABC中，
∵∠CBA=∠CAB=45°，
∴AC=BC=10

2

．
在直角△PCA中，
∠PAC=30°，則PC=

10 6

3

，
∴PB=10

2

-

10 6

3

，
在直角△PMB中，
PM=（10

2

-

10 6

3

）×

2

2

=10-

10 3

3

≈4.226．
∵4.226＞4，
∴這條高速鐵路不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三角函數(shù)求出PM的長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．