Question

△ABC中，射線(xiàn)AD平分∠BAC，AD交邊BC于E點(diǎn).

（1）如圖1，若AB＝AC，∠BAC＝90°，則（  ）；

（2）如圖2，若AB≠AC，則（1）中的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)如圖3，若AB>AC，∠BAC＝∠BDC＝90°，∠ABD為銳角，DH⊥AB于H，則線(xiàn)段AB、AC、BH之間的數(shù)量關(guān)系是（              ），并證明.

 

 

Answer 1

【答案】

（1）=；（2）成立，證明見(jiàn)解析；(3) ，證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：

由,平分,根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”可得：.所以.

(2)求與、與的比，由圖可知.四條線(xiàn)段均為和的兩邊，可用兩三角形的兩組邊與高分別表示面積.如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由平分可得；然后根據(jù)面積公式可得：

；.所以.故圖（1）中的結(jié)論成立.

（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，此時(shí)易證得，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/czsx/web/STSource/2014032605205030089735/SYS201403260521343790490376_DA.files/image029.png">，由同角的余角相等，得.進(jìn)而由可證,得；此時(shí)應(yīng)考慮將等式轉(zhuǎn)化為用、、來(lái)表示，即,；所以，移項(xiàng)可得.

試題解析：（1）解：∵平分

∴

∴

（2）圖（1）中的結(jié)論成立.

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分

∴

根據(jù)面積公式可得，；

所以.故圖（1）中的結(jié)論成立.

（3）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于

∵平分，，

∴

∵在和中

.

∴

∴

∵

∴

又∵

∴

∴

∴

在和中

∴

∴

∵

∴

∴

考點(diǎn)：1、角平分線(xiàn)的性質(zhì).2、三角形的面積公式的靈活運(yùn)用.3、三角形全等的判定.4、正方形的判定及性質(zhì)