Question

正方形ABCD中，點O是對角線AC的中點，P點為對角線AC上一動點，過點P作PF⊥DC于點F．
（1）如圖（1），當點P與點O重合時，請說明DF=CF．
（2）如圖（2），若點P在線段AO上，（不與點A和O重合）PE⊥PB且PE交CD于點E．判斷DF與EF是否相等，并證明．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）利用正方形性質(zhì)可得PF∥AD，由點P為AC中點，即可求出點F是DC的中點，即可得到DF=CF．
（2）要證明DF=EF，連接PD，證明PD=PE，利用等腰三角形的性質(zhì)，底邊上三線合一，可以得出結(jié)論．

解答：證明：（1）如圖（1），

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
∵PF⊥DC于點F．
∴PF∥AD，
∵點O是對角線AC的中點，點P與點O重合，
∴點F是DC的中點，
∴DF=CF．
（2）DF=EF
證明：如圖（2）連接PD，

∵四邊形ABCD是正方形，
AC平分∠BCD，CB=CD，
在△BCP和△DCP中，

CB=CD ∠PCB=∠PCD CP=CP

，
△BCP≌△DCP（SAS）
∴∠PBC=∠PDC，PB=PD
∵PB⊥PE，∠BCD=90°，
∴∠PBC+∠PEC=360°-∠BPE-∠BCE=180°
∵∠PEC+∠PED=180°，
∴∠PBC=∠PED，
∴∠PED=∠PBC=∠PDC，
∴PD=PE，
∵PF⊥CD，
∴DF=EF．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是合理的作出輔助線，利用各邊之間的關(guān)系求證．