Question

5．如圖，拋物線y=ax²+bx過點A（4，0），正方形 OABC的邊BC與拋物線的一個交點為D，點D的橫坐標為3，點M在y軸負半軸上，直線l過點D、M兩點且與拋物線的對稱軸交于點H，tan∠OMD=$\frac{1}{3}$．
（1）直接寫出點H的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）如果點Q是拋物線對稱軸上的一個動點，那么是否存在點Q，使得以點O、M、Q、H為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據拋物線和正方形的對稱性求出拋物線的對稱軸，結合三角函數即可求出點H的坐標；
（2）寫出點D坐標，把點D，點H坐標代入拋物線即可求出拋物線解析式；
（3）由題意知，只要OM=HQ即可，分點Q在H上方和下方進行討論求解即可．

解答 解：如圖1：

（1）由拋物線和正方形的對稱性可知，拋物線的對稱軸是OA的垂直平分線，
由A（4，0）可知，拋物線的對稱軸是直線：x=2，
設直線x=2與BC交于點G，則CG=2，
由CD=3，
∴DG=1，
由GH∥x軸可得，∠GHD=∠OMD，
∴tan∠GHD=$\frac{1}{3}$，
$\frac{GD}{GH}$=$\frac{1}{3}$，GD=1，
解得：GH=3，又正方形邊長為4，
可得：4-3=1，
所以點H（2，1）；
（2）把點A（4，0）和D（3，4）代入拋物線解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{9a+3b=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{16}{3}}\end{array}\right.$．
所以拋物線的解析式為：y$y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{16}{3}x$，
（3）如圖2：

HQ=OM=5時，以點O、M、Q、H為頂點的四邊形是平行四邊形，
∵HQ是拋物線的對稱軸，
∴H和Q兩點的橫坐標均為2，
若以點O、M、Q、H為頂點的四邊形是平行四邊形，
則HQ=OM即可，
又知H點坐標為（2，1），故對Q點進行討論，
①當Q點在H點上面時，若HQ=OM，可得Q點坐標為（2，6），
②當Q點在H點下面時，可得Q（2，-4）．

點評 此題主要考查了點的坐標、直線解析式、拋物線解析式的求法，涉及解直角三角形的知識和平行四邊形的性質的運用．