Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CD方向向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)以相同速度從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）求AD的長(zhǎng)；
（2）設(shè)CP=x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)△PDQ的面積達(dá)到最大，并求出最大值；
（3）探究：在BC邊上是否存在點(diǎn)M使得四邊形PDQM是菱形？若存在，請(qǐng)找出點(diǎn)M，并求出BM的長(zhǎng)；不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解：過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E．那么可在直角三角形AED中根據(jù)兩底的差和∠D的度數(shù)來(lái)求出AD的長(zhǎng)．
（也可通過(guò)作輔助線將梯形分成平行四邊形和等邊三角形兩部分來(lái)求解．）
（2）可通過(guò)求△PDQ的面積與x的函數(shù)關(guān)系式來(lái)得出△PDQ的最大值．由于P、Q速度相同，因此CP=QD=x，那么可用x表示出PD，而△PQD中，PD邊上的高=QD•sin60°，由此可根據(jù)三角形的面積公式求出S_△PQD與x之間的函數(shù)關(guān)系式，可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出S的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值．
（3）假設(shè)存在這樣的M點(diǎn)，那么DM就是PQ的垂直平分線，可得出QD=PD、PM=AM，然后證PM=PD即可．根據(jù)（2）中得出PD、DQ的表達(dá)式，可求出x=

9

2

，即P是CD的中點(diǎn)，不難得出△QPD為等邊三角形，因此∠QPD=∠C=60°，因此PQ∥CM，即∠DMC=90°，在直角三角形DMC中，P為斜邊CD的中點(diǎn)，因此PM=PD，即可得出四邊形PDQM是菱形．那么此時(shí)根據(jù)BM=BC-CM可求出BM的長(zhǎng)．

解答：解：（1）解法一：如圖1
過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E．
依題意，DE=

9-4

2

=

5

2

．
在Rt△ADE中，AD=

DE

cos60°

=

5

2

×2=5．

解法二：如圖2
過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC交CD于點(diǎn)E，則CE=AB=4．
∠AED=∠C=60度．
又∵∠D=∠C=60°，
∴△AED是等邊三角形．
∴AD=DE=9-4=5．

（2）如圖1
∵CP=x，h為PD邊上的高，依題意，
△PDQ的面積S可表示為：
S=

1

2

PD•h=

1

2

（9-x）•x•sin60°
=

3

4

（9x-x²）=-

3

4

（x-

9

2

）²+

81 3

16

．
由題意知0≤x≤5．
當(dāng)x=

9

2

時(shí)（滿足0≤x≤5），S_最大值=

81 3

16

．

（3）如圖4
存在滿足條件的點(diǎn)M，則PD必須等于DQ．
于是9-x=x，x=

9

2

．
此時(shí)，點(diǎn)P、Q的位置如圖4所示，△PDQ恰為等邊三角形．
過(guò)點(diǎn)D作DO⊥PQ于點(diǎn)O，延長(zhǎng)DO交BC于點(diǎn)M，連接PM、QM，則DM垂直平分PQ，
∴MP=MQ．
易知∠1=∠C．
∴PQ∥BC．
又∵DO⊥PQ，
∴MC⊥MD
∴MP=

1

2

CD=PD
即MP=PD=DQ=QM
∴四邊形PDQM是菱形
所以存在滿足條件的點(diǎn)M，且BM=BC-MC=5-

9

2

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道壓軸題，也是一道開(kāi)放探索題，第（2）問(wèn)是條件開(kāi)放，第（3）問(wèn)是結(jié)論開(kāi)放．本題既考查了學(xué)生的分析作圖能力，又考查學(xué)生綜合運(yùn)用平行線、等腰梯形、等邊三角形、菱形、二次函數(shù)等知識(shí)．這里設(shè)計(jì)了一個(gè)開(kāi)放的、動(dòng)態(tài)的數(shù)學(xué)情境，為學(xué)生靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題留下了廣闊的探索、創(chuàng)新的思維空間．