Question

9．已知等邊三角形ABC中，E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)（與A、B不重合），D是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且DE=EC．
（1）當(dāng)E是AB邊上中點(diǎn)時(shí)，如圖1，線段AE與DB的大小關(guān)系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）當(dāng)E是AB邊上任一點(diǎn)時(shí)，小敏與同桌小聰討論后，認(rèn)為（1）中的結(jié)論依然成立，并進(jìn)行了如下解答：解：如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC，交AC于點(diǎn)F
（請(qǐng)你按照上述思路，補(bǔ)充完成全部解答過(guò)程）
（3）當(dāng)E是線段AB延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)時(shí)，如圖3．（1）中的結(jié)論是否依然成立？若成立，請(qǐng)證明．若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一證明；
（2）證明△DBE≌△EFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；
（3）作EF∥AC交BD于F，證明△DEF≌△CEB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可．

解答 解：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是AB邊上中點(diǎn)，
∴AE=BE，∠BCE=$\frac{1}{2}$∠BCA=30°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB=30°，
∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴∠EDB=∠BED，
∴BD=BE，
∴BD=AE，
故答案為：=；
（2）∵EF∥BC，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EBD=∠CEF}\\{BE=CF}\\{∠BED=∠FCE}\end{array}\right.$，
∴△DBE≌△EFC，
∴DB=EF=AE；
（3）如圖3，作EF∥AC交BD于F，
則△BEF為等邊三角形，
∴∠EFB=∠EBF=60°，
∴∠EFD=∠EBC=120°，
∵DE=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
在△DEF和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EFD=∠EBC}\\{∠D=∠ECB}\\{ED=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEB，
∴DF=BC，
∴DF+FB=AB+BE，
∴BD=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．