Question

在數學活動課上，老師要求同學們先做下面的“循環(huán)分割”操作，然后再探索規(guī)律：
如圖1，是一等腰梯形紙片，其腰長與上底長相等，且底角分別60°和120°，按要求開始操作（每次分割，紙片均不得留有剩余）；

第1次分割：將原等腰梯形紙片分割成3個等邊三角形；
第2次分割：將上次分割出的一個等邊三角形分割成3個全等的等腰梯形，然后將剛分割出的一個等腰梯形分割成3個等邊三角形；
以后按第2次分割的方法進行下去…請解答下列問題：
（1）請你在圖2中畫出前兩次分割后的圖案；
（2）若原等腰梯形的面積為a，請你通過操作、觀察，將第2次，第3次分割后所得的一個最小等邊三角形的面積分別填入下表：
 

分割次數（n）	1	2	3	…
一個最小等邊三角形的面積（S）	1 3 a			…

（3）請你猜想，分割所得的一個最小等邊三角形面積S與分割次數n有何關系？（請直接用含a的式子表示，不需寫推理過程）

Answer 1

分析：仔細分析題意，根據數據首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，從而用式子表示．

解答：解：
（1）．
（2）

根據圖形，得到第二次分割得到的最小的等邊三角形面積為(

1

3

)3a；
同理第三次分割得到的最小等邊三角形的面積為(

1

3

)5a；
故答案為：(

1

3

)3a；(

1

3

)5a；
（3）歸納總結得到：S=

1

32n-1

a．

點評：主要考查了學生通過特例分析從而歸納總結出一般結論的能力．對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．通過分析找到各部分的變化規(guī)律后用一個統(tǒng)一的式子表示出分式的符號的變化規(guī)律是此類題目中的難點．