Question

已知拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點A（0，4），且拋物線的對稱軸為直線x=2．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若該拋物線的頂點為B，在拋物線上是否存在點C，使得A、B、O、C四點構(gòu)成的四邊形為梯形？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）試問在拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與對稱軸相交？若存在，請求出點P的坐標(biāo)，并求出對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的對稱軸方程可確定b的值，將C點坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，可確定c的值，從而得到該拋物線的解析式．
（2）此題應(yīng)分兩種情況考慮：
①AB∥OC，易求得直線AB的解析式，即可確定直線OC的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到點C的坐標(biāo)；
②AC∥OB，參照①的解題思路，先求出直線OB的解析式，進(jìn)而可確定直線AC的解析式，再聯(lián)立拋物線的解析式求出點C的坐標(biāo)．
（3）由于⊙P半徑為3，且與x軸相切，那么點P的縱坐標(biāo)的絕對值為3，將其代入拋物線的解析式中，即可求得P點的坐標(biāo)．此時根據(jù)點P的坐標(biāo)、⊙P的半徑以及拋物線的對稱軸方程，可先確定拋物線對稱軸與⊙P的位置關(guān)系，若相交，即可由垂徑定理和勾股定理求得弦EF的長度．

解答：解：（1）由題意得-

b

-2

=2，
∴b=4、c=4，
∴y=-x²+4x+4．（3分）

（2）y=-（x-2）²+8，B（2，8），
①AB∥OC時，直線AB：y=2x+4，則CO為y=2x；（1分）

y=-x2+4x+4 y=2x

解得

x1=1+ 5 y1=2+2 5

，

x2=1- 5 y2=2-2 5

∴C1(1+

5

，2+2

5

)，C2(1-

5

，2-2

5

)（2分）
②AC∥OB時，直線OB：y=4x，則AC為y=4x+4；

y=-x2+4x+4 y=4x+4

解得

x=0 y=4

，
∴C（0，4），與點A重合，舍去．（1分）

（3）①當(dāng)點P在x軸上方時，
y=-x²+4x+4=3，
解得x₁=2+

5

，x₂=2-

5

，
P₁（2+

5

，3），P₂（2-

5

，3）；
此時P到對稱軸直線x=2的距離為

5

＜3，
即⊙P與對稱軸相交．（2分）
對稱軸被⊙P所截得的弦EF的長度為4．（2分）
②當(dāng)點P在x軸下方時，y=-x²+4x+4=-3，
解得x₁=2+

11

，x₂=2-

11

，
P₃（2+

11

，-3），P₄（2-

11

，-3）
此時P到對稱軸直線x=2的距離為

11

＞3，
即⊙P與對稱軸不相交．（1分）
其他解法相應(yīng)給分．

點評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、梯形的判定、函數(shù)圖象交點坐標(biāo)的求法、切線的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系等知識，綜合性強，難度中上．